Encontre os valores de x para os quais a série converge: sumn=0^infty (x-2)^n3^n

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série infinita: sumn=0^infty (x-2)^n3^n. Queremos descobrir para quais valores de x essa série “funciona”, ou seja, para quais ela converge. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries geométricas e as condições para sua convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de série que temos. Observando a expressão (x-2)^n3^n, podemos reescrever isso como (x-23)^n. Assim, a série fica:
sumn=0^infty (x-23)^n
Isso é uma série geométrica, onde a razão comum é r = x-23.

Passo 3

Agora, precisamos lembrar da regra de convergência para séries geométricas. Uma série geométrica da forma sumn=0^infty r^n converge se, e somente se, o valor absoluto da razão r for menor que 1, ou seja:
|r| < 1
Se |r| >= 1, a série não converge.

Passo 4

Aplicando essa regra à nossa série, substituímos r por x-23:
|x-23| < 1
Isso significa que a razão x-23 deve ter um valor absoluto menor que 1 para a série convergir.

Passo 5

Vamos resolver a desigualdade para encontrar os valores de x que satisfazem essa condição:
|x-23| < 1
Multiplicando ambos os lados por 3 (como 3 é positivo, a direção da desigualdade não muda):
|x-2| < 3
Isso significa que a distância entre x e 2 é menor que 3. Podemos escrever sem o valor absoluto:
-3 < x - 2 < 3
Agora, adicionamos 2 a todos os lados para isolar x:
-1 < x < 5

Resposta

A série converge para todos os valores de x que estão entre -1 e 5, ou seja, para x no intervalo (-1, 5).

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