Encontre os valores de para os quais a série converge:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série infinita: . Queremos descobrir para quais valores de essa série “funciona”, ou seja, para quais ela converge. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries geométricas e as condições para sua convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de série que temos. Observando a expressão , podemos reescrever isso como . Assim, a série fica:
Isso é uma série geométrica, onde a razão comum é .
Passo 3
Agora, precisamos lembrar da regra de convergência para séries geométricas. Uma série geométrica da forma converge se, e somente se, o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja:
Se , a série não converge.
Passo 4
Aplicando essa regra à nossa série, substituímos por :
Isso significa que a razão x-23 deve ter um valor absoluto menor que 1 para a série convergir.
Passo 5
Vamos resolver a desigualdade para encontrar os valores de x que satisfazem essa condição:
|x-23| < 1
Multiplicando ambos os lados por 3 (como 3 é positivo, a direção da desigualdade não muda):
|x-2| < 3
Isso significa que a distância entre x e 2 é menor que 3. Podemos escrever sem o valor absoluto:
-3 < x - 2 < 3
Agora, adicionamos 2 a todos os lados para isolar x:
-1 < x < 5
Resposta
A série converge para todos os valores de x que estão entre -1 e 5, ou seja, para x no intervalo (-1, 5).