Verifique a continuidade das seguintes funções:
Seja f(x, y) = { (x^3 - y^3) / (x - y) se x ≠ y; 0 se x = y }. Determine se f é contínua em 1,1.

Passo 1

O exercício pede para verificar se a função é contínua no ponto . Estamos trabalhando com continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, precisamos entender o que é continuidade e como calcular limites de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor da função no ponto . Como nesse ponto, usamos a segunda parte da definição da função:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de . Para :
Podemos simplificar o numerador usando a fatoração da diferença de cubos:
Assim, a função fica:

Passo 4

Agora, calculamos o limite da expressão simplificada quando se aproxima de :
Substituindo e :

Resposta

Como o limite da função quando se aproxima de é 3, e o valor da função nesse ponto é 0:
Portanto, a função não é contínua no ponto .

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