Verifique a continuidade das seguintes funções:
Seja
. Determine se
é contínua em
.
Seja
Passo 1
O exercício pede para verificar se a função
é contínua no ponto
. Estamos trabalhando com continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, precisamos entender o que é continuidade e como calcular limites de funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor da função no ponto
. Como
nesse ponto, usamos a segunda parte da definição da função:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Para
:
Podemos simplificar o numerador usando a fatoração da diferença de cubos:
Assim, a função fica:
Passo 4
Agora, calculamos o limite da expressão simplificada quando
se aproxima de
:
Substituindo
e
:
Resposta
Como o limite da função quando
se aproxima de
é 3, e o valor da função nesse ponto é 0:
Portanto, a função
não é contínua no ponto
.