Calcule o limite se possível:
Passo 1
Então, vamos lá! Você me pediu para calcular o limite quando
se aproxima de
para a função:
Esse tipo de problema está na área de cálculo multivariável, especificamente lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e analisar o comportamento da função quando
e
se aproximam de valores específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão do denominador:
Isso pode ser simplificado reconhecendo que é equivalente a:
Então, nossa função fica:
Passo 3
Agora, vamos simplificar ainda mais a fração:
Então, a expressão do limite simplifica para:
Passo 4
Para entender o que acontece com
quando
se aproxima de
, vamos analisar o comportamento da expressão
.
Quando
,
se aproxima de
. Isso significa que estamos dividindo
por um número que está indo para
. Dependendo de como
e
se aproximam de
, o resultado pode ser muito grande positivo ou muito grande negativo.
Passo 5
Vamos testar isso observando diferentes caminhos de aproximação para
:
-
Caminho onde
e : Se, então . A expressão se torna , o que não está definido e sugere uma tendência ao infinito. -
Caminho onde
e : Aqui,, então a expressão se torna . Se se aproxima de pela direita ( ), tende a . Se se aproxima de pela esquerda ( ), tende a .
Passo 6
Como vimos, dependendo de como
e
se aproximam de
, a expressão
pode tender a
ou
. Isso significa que o limite depende do caminho escolhido para se aproximar de
.
Resposta
O limite não existe porque a expressão tende a valores diferentes dependendo do caminho de aproximação.