Calcule o limite se possível:
lim (x, y) (1,1) x-yx^2+y^2-2 x y

Passo 1

Então, vamos lá! Você me pediu para calcular o limite quando lim (x, y) (1,1) x - yx^2 + y^2 - 2xy se aproxima de para a função:
Esse tipo de problema está na área de cálculo multivariável, especificamente lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e analisar o comportamento da função quando e se aproximam de valores específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão do denominador:
x^2 + y^2 - 2xy
Isso pode ser simplificado reconhecendo que é equivalente a:
(x - y)^2
Então, nossa função fica:
x - y(x - y)^2

Passo 3

Agora, vamos simplificar ainda mais a fração:
x - y(x - y)^2 = 1x - y
Então, a expressão do limite simplifica para:
lim (x, y) (1,1) 1x - y

Passo 4

Para entender o que acontece com quando se aproxima de , vamos analisar o comportamento da expressão .
Quando , se aproxima de . Isso significa que estamos dividindo por um número que está indo para . Dependendo de como e se aproximam de , o resultado pode ser muito grande positivo ou muito grande negativo.

Passo 5

Vamos testar isso observando diferentes caminhos de aproximação para :
  1. Caminho onde e :
    Se , então . A expressão se torna , o que não está definido e sugere uma tendência ao infinito.
  2. Caminho onde e :
    Aqui, , então a expressão se torna . Se se aproxima de pela direita ( ), tende a . Se se aproxima de pela esquerda ( ), tende a .

Passo 6

Como vimos, dependendo de como e se aproximam de , a expressão pode tender a ou . Isso significa que o limite depende do caminho escolhido para se aproximar de .

Resposta

O limite não existe porque a expressão tende a valores diferentes dependendo do caminho de aproximação.

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