Verifique a continuidade das seguintes funções:
Considere f(x, y) = (x + y) / raiz(x^2 + y^2) e determine se ela é contínua em (0,0).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos verificar se ela é contínua no ponto . Para isso, vamos precisar saber sobre continuidade de funções de várias variáveis e como calcular limites nesse contexto.

Passo 2

Continuar uma função em um ponto significa que o limite da função quando nos aproximamos desse ponto é igual ao valor da função no ponto. Ou seja, precisamos verificar se:
Primeiro, vamos calcular . Substituindo e na função:
Isso nos dá uma indeterminação, ou seja, não podemos concluir diretamente sobre a continuidade a partir disso. Então, vamos analisar o limite da função quando se aproxima de .

Passo 3

Para calcular o limite de funções de duas variáveis, uma técnica útil é usar coordenadas polares. Vamos fazer essa mudança de coordenadas, onde e , com representando a distância ao ponto . Assim, quando tende a 0, estamos nos aproximando do ponto .
Substituindo na função:
Simplificando o denominador:
Então, a função fica:
Agora, vamos analisar o limite quando tende a 0. Observamos que o resultado depende do ângulo , ou seja, o limite pode variar dependendo do caminho pelo qual nos aproximamos de .

Passo 4

Como o limite da função depende de , isso significa que existem diferentes valores para o limite dependendo da direção de aproximação. Por exemplo:
  • Se (aproximando ao longo do eixo ), temos:
  • Se (aproximando ao longo do eixo ):
  • Se :
Como podemos ver, o limite da função não é único e varia dependendo da direção de aproximação. Portanto, o limite não existe de forma geral quando tende a .

Resposta

A função não é contínua em porque o limite não existe de forma consistente nesse ponto.

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