Verifique a continuidade das seguintes funções:
Considere
e determine se ela é contínua em
.
Considere
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
e precisamos verificar se ela é contínua no ponto
. Para isso, vamos precisar saber sobre continuidade de funções de várias variáveis e como calcular limites nesse contexto.
Passo 2
Continuar uma função em um ponto significa que o limite da função quando nos aproximamos desse ponto é igual ao valor da função no ponto. Ou seja, precisamos verificar se:
Primeiro, vamos calcular
. Substituindo
e
na função:
Isso nos dá uma indeterminação, ou seja, não podemos concluir diretamente sobre a continuidade a partir disso. Então, vamos analisar o limite da função quando
se aproxima de
.
Passo 3
Para calcular o limite de funções de duas variáveis, uma técnica útil é usar coordenadas polares. Vamos fazer essa mudança de coordenadas, onde
e
, com
representando a distância ao ponto
. Assim, quando
tende a 0, estamos nos aproximando do ponto
.
Substituindo na função:
Simplificando o denominador:
Então, a função fica:
Agora, vamos analisar o limite quando
tende a 0. Observamos que o resultado
depende do ângulo
, ou seja, o limite pode variar dependendo do caminho pelo qual nos aproximamos de
.
Passo 4
Como o limite da função depende de
, isso significa que existem diferentes valores para o limite dependendo da direção de aproximação. Por exemplo:
- Se
(aproximando ao longo do eixo ), temos:
- Se
(aproximando ao longo do eixo ):
- Se
:
Como podemos ver, o limite da função não é único e varia dependendo da direção de aproximação. Portanto, o limite não existe de forma geral quando
tende a
.
Resposta
A função
não é contínua em
porque o limite não existe de forma consistente nesse ponto.