Calcule o limite de quocientes indeterminados. (0,5 pt.) lim x 0^- raiz2 x+3-raiz3|x|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O problema pede para calcular lim x 0^- raiz2 x+3-raiz3|x|. Aqui, estamos lidando com limites de quocientes indeterminados, que aparecem quando tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero. Para resolver isso, vamos precisar racionalizar o numerador, ou seja, fazer uma mágica com as raízes para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa racionalizar. Quando temos raízes no numerador ou denominador, multiplicamos pela “conjugada” para eliminar as raízes. No nosso caso, o numerador é raiz2x + 3 - raiz3, então a conjugada é raiz2x + 3 + raiz3. Vamos multiplicar o numerador e o denominador por essa conjugada:
raiz2x + 3 - raiz3|x| times raiz2x + 3 + raiz3raiz2x + 3 + raiz3

Passo 3

Agora, vamos multiplicar o numerador e o denominador:
No numerador:
(raiz2x + 3 - raiz3)(raiz2x + 3 + raiz3) = (2x + 3) - 3 = 2x
No denominador:
|x| (raiz2x + 3 + raiz3)
Então, a expressão ficou:
2x|x| (raiz2x + 3 + raiz3)

Passo 4

Sabendo que estamos calculando o limite quando x se aproxima de 0 pela esquerda (ou seja, x < 0), o valor de |x| é igual a -x. Substituindo isso na expressão:
2x-x (raiz2x + 3 + raiz3) = 2-(raiz2x + 3 + raiz3)

Passo 5

Agora, podemos simplificar mais. Conforme x se aproxima de 0, 2x + 3 se aproxima de 3, então raiz2x + 3 se aproxima de raiz3. Substituindo isso na expressão:
2-(raiz3 + raiz3) = 2-2raiz3 = -1raiz3

Resposta

lim x 0^- raiz2 x+3-raiz3|x| = -1raiz3

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