Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências
f) summ=1^infty (x+1)^m-12^m raizm^3

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: temos a série de potências
summ=1^infty (x+1)^m-12^m raizm^3
Nosso objetivo é encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar os cálculos. Observamos que summ=1^infty (x+1)^m(x+1) cdot 2^m raizm^3 = 1x+1 summ=1^infty (x+1)^m2^m raizm^3 pode ser reescrito como am = (x+1)^m2^m raizm^3 . Então, a série fica:
Para achar o raio de convergência, vamos focar na parte da série que depende de :

Passo 3

Aplicamos o Teste da Razão, que envolve calcular o limite:
L = limm to infty | am+1am |
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos calcular am+1am = (x+1)^m+12^m+1 raiz(m+1)^3(x+1)^m2^m raizm^3 = (x+1)^m+12^m+1 raiz(m+1)^3 cdot 2^m raizm^3(x+1)^m :
= (x+1) cdot 2^m2^m+1 cdot raizm^3raiz(m+1)^3 = x+12 cdot ( mm+1 )^32
Simplificando:

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando L = limm to infty | x+12 cdot ( mm+1 )^32 | tende a infinito:
L = | x+12 cdot 1 | = | x+12 |
Sabemos que , então:

Passo 6

Para a série convergir, precisamos que | x+12 | < 1 :
|x+1| < 2
Resolvendo a desigualdade:
-2 < x + 1 < 2 implies -3 < x < 1
Isso significa que:

Passo 7

O raio de convergência é o valor que faz . Da nossa desigualdade, vemos que .

Passo 8

Agora, precisamos verificar os pontos finais summ=1^infty (-3+1)^m-12^m raizm^3 = summ=1^infty (-2)^m-12^m raizm^3 = 1-2 summ=1^infty (-2)^m2^m raizm^3 = 1-2 summ=1^infty (-1)^mraizm^3 e summ=1^infty (1+1)^m-12^m raizm^3 = summ=1^infty 2^m-12^m raizm^3 = 12 summ=1^infty 1raizm^3 para determinar o intervalo de convergência completo.
Para :
Esta é uma série alternada que converge pelo Teste da Série Alternada, já que os termos tendem a zero e são decrescentes.
Para :
A série é uma série p com , que converge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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