Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências
f)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: temos a série de potências
Nosso objetivo é encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar os cálculos. Observamos que pode ser reescrito como . Então, a série fica:
Para achar o raio de convergência, vamos focar na parte da série que depende de :

Passo 3

Aplicamos o Teste da Razão, que envolve calcular o limite:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos calcular :
Simplificando:

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando tende a infinito:
Sabemos que , então:

Passo 6

Para a série convergir, precisamos que :
Resolvendo a desigualdade:
Isso significa que:

Passo 7

O raio de convergência é o valor que faz . Da nossa desigualdade, vemos que .

Passo 8

Agora, precisamos verificar os pontos finais e para determinar o intervalo de convergência completo.
Para :
Esta é uma série alternada que converge pelo Teste da Série Alternada, já que os termos tendem a zero e são decrescentes.
Para :
A série é uma série p com , que converge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

Exercícios relacionados

Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
Calcule o limite de quocientes indeterminados. pt.)
Encontre o raio e o intervalo de convergencia da série , Náo esqueça de verificar a convergência ou divergencia nos extremos do intervalo encontrado.
Dica: .
Calcule os limites abaixo. pt.)