Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências
f)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado: temos a série de potências
Nosso objetivo é encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar os cálculos. Observamos que pode ser reescrito como . Então, a série fica:
Para achar o raio de convergência, vamos focar na parte da série que depende de :
Passo 3
Aplicamos o Teste da Razão, que envolve calcular o limite:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos calcular :
Simplificando:
Passo 5
Agora, calculamos o limite quando tende a infinito:
Sabemos que , então:
Passo 6
Para a série convergir, precisamos que :
Resolvendo a desigualdade:
Isso significa que:
Passo 7
O raio de convergência é o valor que faz . Da nossa desigualdade, vemos que .
Passo 8
Agora, precisamos verificar os pontos finais e para determinar o intervalo de convergência completo.
Para :
Esta é uma série alternada que converge pelo Teste da Série Alternada, já que os termos tendem a zero e são decrescentes.
Para :
A série é uma série p com , que converge.
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .