Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas:
, quando
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
que depende de outras funções
,
e
. O objetivo é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
e
usando a Regra da Cadeia. Para isso, precisamos saber como
,
e
dependem de
,
e
. As fórmulas que vamos usar são:
E queremos calcular
,
e
quando
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os valores de
,
e
nas condições dadas (
,
,
).
Passo 3
Agora, substituímos esses valores na expressão de
:
Aparentemente,
é uma função relacionada a
. Para simplificar, vamos assumir que
(se houver mais contexto sobre
, deve-se ajustar). Então:
Passo 4
Para encontrar as derivadas parciais, precisamos aplicar a Regra da Cadeia. A ideia é que a mudança em
em relação a
,
ou
depende de como
,
e
mudam em relação a essas variáveis.
A fórmula geral da derivada parcial de
em relação a uma variável
é:
Vamos calcular cada termo separadamente.
Passo 5
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
,
e
:
Substituindo os valores calculados (
,
,
):
Passo 6
Agora, calculamos as derivadas de
,
e
em relação a
,
e
:
Passo 7
Agora, aplicamos a fórmula da Regra da Cadeia para cada derivada parcial:
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Determine as derivadas parciais de segunda ordem de cada uma das funções:
Determine e esboce o domínio de cada uma das funções:
Calcule o limite de quocientes indeterminados.
pt.)
Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.