Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas:
N=p+qp+r^prime p=u+v w, q=v+u w, r=w+u v, partial Npartial u, partial Npartial v, partial Npartial w^prime, quando u=2, v=3 e w=4.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função N = p + qp + r' que depende de outras funções p = u + v w , q = v + u w e r = w + u v . O objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a , e usando a Regra da Cadeia. Para isso, precisamos saber como , e dependem de , e . As fórmulas que vamos usar são:
E queremos calcular , e quando , e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os valores de p = u + v w = 2 + 3 times 4 = 2 + 12 = 14 , q = v + u w = 3 + 2 times 4 = 3 + 8 = 11 e r = w + u v = 4 + 2 times 3 = 4 + 6 = 10 nas condições dadas ( , , ).

Passo 3

Agora, substituímos esses valores na expressão de N = p + qp + r' = 14 + 1114 + r' :
N = 14 + 1114 + 10 = 2524
Aparentemente, é uma função relacionada a . Para simplificar, vamos assumir que (se houver mais contexto sobre , deve-se ajustar). Então:

Passo 4

Para encontrar as derivadas parciais, precisamos aplicar a Regra da Cadeia. A ideia é que a mudança em partial Npartial x = partial Npartial p partial ppartial x + partial Npartial q partial qpartial x + partial Npartial r' partial r'partial x em relação a , ou depende de como , e mudam em relação a essas variáveis.
A fórmula geral da derivada parcial de em relação a uma variável é:
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 5

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de partial Npartial p = (1)(p + r') - (p + q)(1)(p + r')^2 = p + r' - p - q(p + r')^2 = r' - q(p + r')^2 em relação a partial Npartial q = 1p + r' , partial Npartial r' = -(p + q)(p + r')^2 e partial Npartial p = 10 - 11(14 + 10)^2 = -124^2 = -1576 :
partial Npartial q = 124
partial Npartial r' = -(14 + 11)24^2 = -25576
Substituindo os valores calculados ( , , ):

Passo 6

Agora, calculamos as derivadas de partial ppartial u = 1 , partial ppartial v = w = 4 e partial ppartial w' = 0 (já que p não depende de w') em relação a partial qpartial u = w = 4 , partial qpartial v = 1 e partial qpartial w' = 0 :
partial r'partial u = v = 3
partial r'partial v = u = 2
partial r'partial w' = 0 (assumindo que r' não depende de w') áã
ã

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula da Regra da Cadeia para cada derivada parcial:
Para partial Npartial u = partial Npartial p cdot partial ppartial u + partial Npartial q cdot partial qpartial u + partial Npartial r' cdot partial r'partial u :
= (-1576) cdot 1 + (124) cdot 4 + (-25576) cdot 3
= -1576 + 424 + -75576
= -1576 + 96576 + -75576 = 20576 = 5144
partial Npartial v = partial Npartial p cdot partial ppartial v + partial Npartial q cdot partial qpartial v + partial Npartial r' cdot partial r'partial v
Para = (-1576) cdot 4 + (124) cdot 1 + (-25576) cdot 2 :
= -4576 + 24576 + -50576
= -4 + 24 - 50576 = -30576 = -596
partial Npartial w' = partial Npartial p cdot partial ppartial w' + partial Npartial q cdot partial qpartial w' + partial Npartial r' cdot partial r'partial w'
= (-1576) cdot 0 + (124) cdot 0 + (-25576) cdot 0 = 0
Para :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial Npartial u = 5144
partial Npartial v = -596
partial Npartial w' = 0

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