Determine as derivadas parciais de segunda ordem de cada uma das funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação para funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as primeiras derivadas parciais de
em relação a
e
. A derivada parcial em relação a
(
) mostra como
muda quando
varia, mantendo
constante. Da mesma forma, a derivada parcial em relação a
(
) mostra a mudança de
quando
varia, mantendo
constante.
Passo 3
Vamos calcular
:
Como , tratando
como constante, a derivada de
em relação a
é 2. Então:
Como
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Aqui, tratamos como constante. A derivada de
em relação a
usa a regra da cadeia. Primeiro, derivamos o denominador:
Aqui, tratamos
Então, usando a regra da derivada de
, temos:
Passo 5
Agora que temos as primeiras derivadas, vamos para as segundas derivadas parciais. Precisamos encontrar:
Passo 6
Vamos começar com
:
A primeira derivada não depende de
, então a segunda derivada em relação a
será zero:
A primeira derivada
Passo 7
Agora,
:
Primeiro, pegue e derive em relação a
:
Primeiro, pegue
Então:
Passo 8
Em seguida,
:
Pela teoria, se as derivadas são contínuas, . Portanto:
Pela teoria, se as derivadas são contínuas,
Passo 9
Por último,
:
Vamos derivar em relação a
. Usando a regra do quociente:
Vamos derivar
Então:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são:
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b)
b)
Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas:
, quando
.
Calcule o limite de quocientes indeterminados.
pt.)