Determine as derivadas parciais de segunda ordem de cada uma das funções:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função . Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação para funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as primeiras derivadas parciais de em relação a e . A derivada parcial em relação a ( ) mostra como muda quando varia, mantendo constante. Da mesma forma, a derivada parcial em relação a ( ) mostra a mudança de quando varia, mantendo constante.

Passo 3

Vamos calcular :
Como , tratando como constante, a derivada de em relação a é 2. Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Aqui, tratamos como constante. A derivada de em relação a usa a regra da cadeia. Primeiro, derivamos o denominador:
Então, usando a regra da derivada de , temos:

Passo 5

Agora que temos as primeiras derivadas, vamos para as segundas derivadas parciais. Precisamos encontrar:

Passo 6

Vamos começar com :
A primeira derivada não depende de , então a segunda derivada em relação a será zero:

Passo 7

Agora, :
Primeiro, pegue e derive em relação a :
Então:

Passo 8

Em seguida, :
Pela teoria, se as derivadas são contínuas, . Portanto:

Passo 9

Por último, :
Vamos derivar em relação a . Usando a regra do quociente:
Então:

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências
b)
Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas:
, quando .
Calcule o limite de quocientes indeterminados. pt.)