Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de limites! Aqui, temos alguns limites para calcular, que fazem parte da matéria de Cálculo Diferencial. Para resolver esses limites, vamos precisar saber como simplificar expressões, fatorar polinômios, racionalizar e usar algumas regras básicas de limites. Vamos resolver cada um passo a passo para ficar bem tranquilo!
Passo 2
b)
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do limite:
Aqui, tanto o numerador quanto o denominador têm um fator de
. Podemos fatorar
no numerador:
Agora, simplificamos cancelando o
que está no numerador e no denominador:
Agora, substituímos
por 0:
Passo 3
c)
A expressão está no formato que nos faz lembrar da definição da derivada de
no ponto
, mas vamos resolver de forma mais direta.
Primeiro, percebemos que se substituirmos
, teremos
, que é uma indeterminação. Para resolver isso, vamos racionalizar o numerador multiplicando o numerador e o denominador pela conjugada do numerador:
No numerador, aplicamos a diferença de quadrados:
Então, a expressão fica:
Agora, podemos substituir
:
Passo 4
d)
Vamos olhar para o numerador:
Podemos tentar fatorar esse polinômio. Procuramos dois números que multiplicados dão 4 e somados dão -4. Os números são -2 e -2. Então:
Substituindo de volta na expressão original:
Agora, substituímos
:
Passo 5
e)
Primeiro, vamos fatorar o numerador:
Então, a expressão fica:
Agora, substituímos
:
Passo 6
f)
Aqui, representa a função seno. Sabemos que a função seno é contínua em todos os pontos do seu domínio, o que significa que podemos simplesmente substituir
por 0:
Resposta
Resumindo os limites calculados:
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Resolva as indeterminações abaixo usando a Regra de L
Calcule os seguintes limites:
Calcule o limite a seguir: