Calcule os seguintes limites: ll b) lim x 0 x^2+xx c) lim x 1 raizx-1x-1 & d) lim x 2 x^2-4 x+4x-2 e) lim x -1 x^2-1x+1 & f) lim x 0 sen x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de limites! Aqui, temos alguns limites para calcular, que fazem parte da matéria de Cálculo Diferencial. Para resolver esses limites, vamos precisar saber como simplificar expressões, fatorar polinômios, racionalizar e usar algumas regras básicas de limites. Vamos resolver cada um passo a passo para ficar bem tranquilo!

Passo 2

b) x^2 + xx
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do limite:
x(x + 1)x
Aqui, tanto o numerador quanto o denominador têm um fator de cancelx(x + 1)cancelx = x + 1 . Podemos fatorar 0 + 1 = 1 no numerador:
Agora, simplificamos cancelando o que está no numerador e no denominador:
Agora, substituímos por 0:

Passo 3

c) raizx - 1x - 1 times raizx + 1raizx + 1 = (raizx - 1)(raizx + 1)(x - 1)(raizx + 1)
A expressão está no formato que nos faz lembrar da definição da derivada de (raizx)^2 - (1)^2 = x - 1 no ponto x - 1(x - 1)(raizx + 1) = 1raizx + 1 , mas vamos resolver de forma mais direta.
Primeiro, percebemos que se substituirmos 1raiz1 + 1 = 11 + 1 = 12 , teremos , que é uma indeterminação. Para resolver isso, vamos racionalizar o numerador multiplicando o numerador e o denominador pela conjugada do numerador:
No numerador, aplicamos a diferença de quadrados:
Então, a expressão fica:
Agora, podemos substituir :

Passo 4

d) x^2 - 4x + 4
Vamos olhar para o numerador:
x^2 - 4x + 4 = (x - 2)(x - 2) = (x - 2)^2
Podemos tentar fatorar esse polinômio. Procuramos dois números que multiplicados dão 4 e somados dão -4. Os números são -2 e -2. Então:
(x - 2)^2x - 2 = x - 2 (para x neq 2)
Substituindo de volta na expressão original:
2 - 2 = 0
Agora, substituímos :

Passo 5

e) x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
Primeiro, vamos fatorar o numerador:
frac(x - 1)(x + 1)x + 1 = x - 1 (para x neq -1)
Então, a expressão fica:
-1 - 1 = -2
Agora, substituímos :

Passo 6

f)
Aqui, representa a função seno. Sabemos que a função seno é contínua em todos os pontos do seu domínio, o que significa que podemos simplesmente substituir sen 0 = 0 por 0:

Resposta

Resumindo os limites calculados:

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