Determine se a série é convergente ou divergente. sumn=1^infty(-1)^n+1 n^2n^3+4

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para determinar se a série infinita sumn=1^infty(-1)^n+1 n^2n^3+4 é convergente ou divergente. Aqui, estamos lidando com séries alternadas, que têm termos positivos e negativos alternando. Para resolver isso, vamos usar dois conceitos principais: o Teste da Série Alternada e o Teste da Convergência Absoluta.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a série sem considerar os sinais alternados, ou seja, a série sumn=1^infty n^2n^3+4. Isso é importante porque se essa série absoluta convergir, então a série original também converge de forma absoluta.

Passo 3

Vamos verificar a convergência da série absoluta sumn=1^infty n^2n^3+4. Observando a expressão n^2n^3+4, para valores grandes de n, o termo se aproxima de n^2n^3 = 1n. Sabemos que a série sumn=1^infty 1n é a série harmônica, que é divergente. Portanto, a série absoluta também é divergente.

Passo 4

Como a série absoluta diverge, precisamos verificar se a série original alternada converge condicionalmente. Para isso, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que uma série da forma sum (-1)^n bn converge se:
  1. Os termos bn são decrescentes.
  2. limn to infty bn = 0.
No nosso caso, bn = n^2n^3+4. Vamos verificar:
  1. Decrescimento: À medida que n aumenta, bn = n^2n^3+4 diminui porque o denominador cresce mais rápido que o numerador.
  2. Limite: limn to infty n^2n^3+4 = limn to infty 1n + 4n^2 = 0.
Como ambas as condições são satisfeitas, a série alternada converge condicionalmente.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n+1 n^2n^3+4 é convergente, mas não absolutamente convergente.

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