Determine se a série é convergente ou divergente.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para determinar se a série infinita é convergente ou divergente. Aqui, estamos lidando com séries alternadas, que têm termos positivos e negativos alternando. Para resolver isso, vamos usar dois conceitos principais: o Teste da Série Alternada e o Teste da Convergência Absoluta.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a série sem considerar os sinais alternados, ou seja, a série . Isso é importante porque se essa série absoluta convergir, então a série original também converge de forma absoluta.

Passo 3

Vamos verificar a convergência da série absoluta . Observando a expressão , para valores grandes de , o termo se aproxima de . Sabemos que a série é a série harmônica, que é divergente. Portanto, a série absoluta também é divergente.

Passo 4

Como a série absoluta diverge, precisamos verificar se a série original alternada converge condicionalmente. Para isso, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que uma série da forma converge se:
  1. Os termos são decrescentes.
  2. .
No nosso caso, . Vamos verificar:
  1. Decrescimento: À medida que aumenta, diminui porque o denominador cresce mais rápido que o numerador.
  2. Limite: .
Como ambas as condições são satisfeitas, a série alternada converge condicionalmente.

Resposta

A série é convergente, mas não absolutamente convergente.

Exercícios relacionados

Determine se a série é convergente ou divergente.
Calcule o limite da sequência
Resolva as equações separáveis:
, condição inicial .
Se descreve a posição (em metros) de um objeto no tempo (em segundos), calcule sua velocidade no instante dado, usando a fórmula : e