Determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para determinar se a série infinita
é convergente ou divergente. Aqui, estamos lidando com séries alternadas, que têm termos positivos e negativos alternando. Para resolver isso, vamos usar dois conceitos principais: o Teste da Série Alternada e o Teste da Convergência Absoluta.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a série sem considerar os sinais alternados, ou seja, a série
. Isso é importante porque se essa série absoluta convergir, então a série original também converge de forma absoluta.
Passo 3
Vamos verificar a convergência da série absoluta
. Observando a expressão
, para valores grandes de
, o termo se aproxima de
. Sabemos que a série
é a série harmônica, que é divergente. Portanto, a série absoluta também é divergente.
Passo 4
Como a série absoluta diverge, precisamos verificar se a série original alternada converge condicionalmente. Para isso, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que uma série da forma
converge se:
- Os termos
são decrescentes. -
.
No nosso caso,
. Vamos verificar:
- Decrescimento: À medida que
aumenta, diminui porque o denominador cresce mais rápido que o numerador. - Limite:
.
Como ambas as condições são satisfeitas, a série alternada converge condicionalmente.
Resposta
A série
é convergente, mas não absolutamente convergente.
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Calcule o limite da sequência
Resolva as equações separáveis:
, condição inicial
.
Se
descreve a posição (em metros) de um objeto no tempo
(em segundos), calcule sua velocidade no instante
dado, usando a fórmula
:
e