Calcule o limite usando as propriedades adequadas de limites.
lim x 3 / 2 raiz8 x^3-274 x^2-9

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite quando se aproxima de da expressão . Aqui, vamos usar propriedades de limites e conhecer um pouco sobre álgebra para simplificar a expressão dentro da raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando se aproxima de .
Numerador:
Denominador:
Vamos substituir nessas expressões para ver se obtemos uma forma indeterminada.

Passo 3

Calculando o numerador:
8(32)^3 - 27 = 8 cdot 278 - 27 = 27 - 27 = 0
Calculando o denominador:
4(32)^2 - 9 = 4 cdot 94 - 9 = 9 - 9 = 0
Então, temos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 4

Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a fração.
Para o numerador 8x^3 - 27 = (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9) , perceba que é uma diferença de cubos: 4x^2 - 9 = (2x - 3)(2x + 3) . A fatoração fica:
Para o denominador , vemos que é uma diferença de quadrados: . A fatoração fica:

Passo 5

Agora, substituímos essas fatorações na expressão original:
raiz(2x - 3)(4x^2 + 6x + 9)(2x - 3)(2x + 3)
Podemos cancelar o termo comum raiz4x^2 + 6x + 92x + 3 no numerador e no denominador:

Passo 6

Agora, substituímos 4(32)^2 + 6(32) + 9 = 4 cdot 94 + 9 + 9 = 9 + 9 + 9 = 27 na expressão simplificada:
Primeiro, calculamos o numerador:
2(32) + 3 = 3 + 3 = 6
E o denominador:

Passo 7

Substituindo na raiz:
raiz276 = raiz92 = 3raiz2 = 3raiz22

Resposta

O limite é .

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