Calcule o limite usando as propriedades adequadas de limites.

Passo 1

Vamos começar resumindo o enunciado. Precisamos calcular o limite:
Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo, especificamente de limites. Para resolver, vamos utilizar propriedades dos limites e algumas técnicas de manipulação algébrica.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente na expressão para ver o que acontece:
Obtemos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos de outra estratégia para resolver esse limite.

Passo 3

Uma maneira eficiente de resolver esse tipo de limite é utilizar a definição da derivada. Lembra que a derivada de uma função no ponto é definida por:
No nosso caso, podemos identificar e queremos calcular o limite quando se aproxima de 0, ou seja, .

Passo 4

Vamos calcular a derivada de . Reescrevendo a função:
Aplicando a regra da potência para derivadas:
Agora, substituímos para encontrar :

Resposta

O limite é igual a .

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Dadas as funções abaixo, calcule os limites indicados, caso existam; caso algum dos limites não exista justifique.
Dadas as funções e mostre que:
não existe.