Dadas as funções f(x)= x^2+3 & se x <= 1 x+1 & se x>1 e g(x) = x^2 & se x <= 1 2 & se x>1 mostre que:
lim x 1 g(x) não existe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas funções definidas por partes: e . Nosso objetivo aqui é mostrar que o limite de quando se aproxima de 1 não existe. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de limites laterais, ou seja, os limites pela direita e pela esquerda do ponto em questão.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa o limite de uma função em um ponto. O limite existe se os limites quando se aproxima de pela esquerda ( ) e pela direita ( ) existirem e forem iguais. Se esses dois limites laterais forem diferentes, então o limite geral não existe.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à função g(x) = x^2 & se x <= 1 2 & se x > 1 . A função está definida por partes:
Vamos calcular os limites laterais em .

Passo 4

Primeiro, o limite pela esquerda ( limx to 1^- g(x) = limx to 1^- x^2 = 1^2 = 1 ):
Para , . Então,

Passo 5

Agora, o limite pela direita ( limx to 1^+ g(x) = 2 ):
Para , . Como essa é uma função constante nessa região,

Passo 6

Comparando os dois limites laterais:
limx to 1^- g(x) = 1 e limx to 1^+ g(x) = 2
Como 1 é diferente de 2, os limites laterais não são iguais.

Resposta

Portanto, não existe.

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