Dadas as funções e mostre que:
não existe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas funções definidas por partes: e . Nosso objetivo aqui é mostrar que o limite de quando se aproxima de 1 não existe. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de limites laterais, ou seja, os limites pela direita e pela esquerda do ponto em questão.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa o limite de uma função em um ponto. O limite existe se os limites quando se aproxima de pela esquerda ( ) e pela direita ( ) existirem e forem iguais. Se esses dois limites laterais forem diferentes, então o limite geral não existe.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à função . A função está definida por partes:
Vamos calcular os limites laterais em .

Passo 4

Primeiro, o limite pela esquerda ( ):
Para , . Então,

Passo 5

Agora, o limite pela direita ( ):
Para , . Como essa é uma função constante nessa região,

Passo 6

Comparando os dois limites laterais:
Como 1 é diferente de 2, os limites laterais não são iguais.

Resposta

Portanto, não existe.

Exercícios relacionados

Dadas as funções abaixo, calcule os limites indicados, caso existam; caso algum dos limites não exista justifique.
Calcule o limite usando as propriedades adequadas de limites.
Calcule o limite:
Calcule o limite: