Calcule o limite usando as propriedades adequadas de limites.
lim x -2 x^3-x^2-x+10x^2+3 x+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício envolve limites de funções racionais, então vamos usar as propriedades de limites para resolver. Precisamos simplificar a expressão e verificar se há alguma indeterminação que possamos resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir (-2)^3 - (-2)^2 - (-2) + 10(-2)^2 + 3(-2) + 2 = -8 - 4 + 2 + 104 - 6 + 2 = 00 diretamente na função para ver o que acontece:
Como obtemos , isso é uma indeterminação, o que significa que precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para ver se podemos cancelar algum fator comum.
Primeiro, fatorando o denominador:
x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)
Agora, vamos fatorar o numerador 2^3 - 2^2 - 2 + 10 = 8 - 4 - 2 + 10 = 12 neq 0 . Para isso, podemos tentar encontrar uma raiz racional usando o Teorema das Raízes Racionais. Testando 1^3 - 1^2 - 1 + 10 = 1 - 1 - 1 + 10 = 9 neq 0 :
(-2)^3 - (-2)^2 - (-2) + 10 = -8 - 4 + 2 + 10 = 0
Testando :
Testando :
Então, é uma raiz, o que significa que é um fator do numerador.

Passo 4

Agora, vamos dividir o numerador por x^3 - x^2 - x + 10 = (x + 2)(x^2 - 3x + 5) para encontrar os outros fatores:
(x + 2)(x^2 - 3x + 5)(x + 1)(x + 2)
Então, temos:

Passo 5

Agora, podemos cancelar o fator comum cancel(x + 2)(x^2 - 3x + 5)(x + 1)cancel(x + 2) = x^2 - 3x + 5x + 1 no numerador e denominador:

Passo 6

Agora que simplificamos a expressão, podemos substituir (-2)^2 - 3(-2) + 5-2 + 1 = 4 + 6 + 5-1 = 15-1 = -15 diretamente sem obter uma indeterminação:

Resposta

O limite é .

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