Calcule o limite quando x to infty: limx to infty 5x^2 + 32x^2 - 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Aqui a gente está trabalhando com limites no infinito de funções racionais (ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios). Para resolver isso, vamos precisar identificar quais são os termos que mais influenciam o comportamento da função quando cresce muito, ou seja, os termos de maior grau no numerador e no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os graus dos polinômios no numerador e no denominador. No numerador, temos e . O termo de maior grau é . No denominador, temos e , onde o termo de maior grau é . Isso é importante porque, quando vai para infinito, os termos de menor grau (como e ) ficam menos significativos comparados aos termos de maior grau.

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dividindo cada termo pelo maior grau de 5x^2 + 32x^2 - 4 = 5x^2/x^2 + 3/x^22x^2/x^2 - 4/x^2 = 5 + 3x^22 - 4x^2 , que aqui é . Isso ajuda a destacar como cada parte da função se comporta quando cresce:
Aqui, dividimos cada termo do numerador e do denominador por .

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece quando 5 + 02 - 0 = 52 tende para infinito. Note que e vão para 0, porque fica enorme no denominador. Então, a expressão simplifica para:
Isso significa que os termos que não têm não influenciam o limite quando vai para infinito.

Resposta

O limite é .

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