Encontre a reta tangente à curva f(x) = x^2 no ponto x = 1.

Passo 1

Beleza, temos que encontrar a reta tangente à curva no ponto onde . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para achar a inclinação da reta tangente e depois escrever a equação dessa reta. Precisamos calcular a derivada de e avaliar no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de f(1) = 1^2 = 1 . Substituindo na função:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de f'(x) = 2x . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. A regra básica para derivar é multiplicar pelo expoente e diminuir o expoente em 1:

Passo 4

Em seguida, calculamos a derivada no ponto f'(1) = 2 times 1 = 2 :
Então, a inclinação da reta tangente é 2.

Passo 5

Com a inclinação y - y1 = m(x - x1) e o ponto de tangência y - 1 = 2(x - 1) , usamos a fórmula da equação da reta:
y = 2x - 2 + 1 y = 2x - 1
Substituindo os valores:
Distribuindo e simplificando:

Resposta

A reta tangente à curva no ponto é .

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