Calcule os limites quando x -> a.
f(x) = (x^4 - 8x^3 + 18x^2 - 27) / (x^4 - 10x^3 + 36x^2 - 54x + 27), a = 3.

Passo 1

Vamos resolver o limite da função quando se aproxima de . Isso está ligado ao conteúdo de limites em cálculo, e vamos precisar verificar o comportamento da função perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente na função para ver se conseguimos encontrar o limite facilmente:
Calculando cada termo:
Então, o numerador fica:
Fazendo o mesmo para o denominador:
Então, o denominador fica:
Obtemos , que é uma indeterminação. Isso significa que precisamos de outro método para resolver.

Passo 3

Quando encontramos uma indeterminação como , uma estratégia é fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão. Vamos fatorar ambos em termos de , já que estamos calculando o limite quando se aproxima de 3.

Passo 4

Vamos começar fatorando o numerador . Sabemos que é uma raiz, então é um fator. Usando a divisão polinomial ou fatoração, encontramos:

Passo 5

Agora, fatoramos o denominador . Também sabemos que é uma raiz, então é um fator. Fatorando, temos:

Passo 6

Agora, nossa expressão para fica:
Podemos cancelar o fator comum :

Passo 7

Agora, substituímos na expressão simplificada:
Calculando cada termo:
Numerador:
Denominador:
Então:
Ainda temos . Isso indica que precisamos fatorar mais uma vez.

Passo 8

Vamos fatorar novamente o numerador e o denominador para encontrar outros fatores comuns.
Primeiro, para o numerador:
E para o denominador:

Passo 9

Agora, nossa expressão para fica:
Podemos cancelar novamente o fator comum :

Passo 10

Finalmente, substituímos na expressão simplificada:
Calculando cada termo:
Numerador:
Denominador:
Ainda encontramos , o que significa que precisamos continuar fatorando.

Passo 11

Vamos fatorar novamente o numerador e o denominador .
Numerador:
Denominador:

Passo 12

Nossa expressão para agora é:
Podemos cancelar o fator comum :

Passo 13

Finalmente, substituímos na expressão simplificada:

Resposta

O limite de quando se aproxima de 3 é igual a 2.

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