Calcule os limites quando
.
.
Passo 1
Vamos resolver o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso está ligado ao conteúdo de limites em cálculo, e vamos precisar verificar o comportamento da função perto de
.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na função para ver se conseguimos encontrar o limite facilmente:
Calculando cada termo:
Então, o numerador fica:
Fazendo o mesmo para o denominador:
Então, o denominador fica:
Obtemos
, que é uma indeterminação. Isso significa que precisamos de outro método para resolver.
Passo 3
Quando encontramos uma indeterminação como
, uma estratégia é fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão. Vamos fatorar ambos em termos de
, já que estamos calculando o limite quando
se aproxima de 3.
Passo 4
Vamos começar fatorando o numerador
. Sabemos que
é uma raiz, então
é um fator. Usando a divisão polinomial ou fatoração, encontramos:
Passo 5
Agora, fatoramos o denominador
. Também sabemos que
é uma raiz, então
é um fator. Fatorando, temos:
Passo 6
Agora, nossa expressão para
fica:
Podemos cancelar o fator comum
:
Passo 7
Agora, substituímos
na expressão simplificada:
Calculando cada termo:
Numerador:
Denominador:
Então:
Ainda temos
. Isso indica que precisamos fatorar mais uma vez.
Passo 8
Vamos fatorar novamente o numerador
e o denominador
para encontrar outros fatores comuns.
Primeiro, para o numerador:
E para o denominador:
Passo 9
Agora, nossa expressão para
fica:
Podemos cancelar novamente o fator comum
:
Passo 10
Finalmente, substituímos
na expressão simplificada:
Calculando cada termo:
Numerador:
Denominador:
Ainda encontramos
, o que significa que precisamos continuar fatorando.
Passo 11
Vamos fatorar novamente o numerador
e o denominador
.
Numerador:
Denominador:
Passo 12
Nossa expressão para
agora é:
Podemos cancelar o fator comum
:
Passo 13
Finalmente, substituímos
na expressão simplificada:
Resposta
O limite de
quando
se aproxima de 3 é igual a 2.
Exercícios relacionados
Calcule os limites quando
.
.
Encontre o domínio e a imagem das funções
(e)
(e)
Verifique se os limites abaixo existem:
Obs: utilize para verificar a existência.
Obs: utilize
Verifique se as funções são contínuas nos pontos.
em
.