Calcule os limites abaixo: [1,5 pt] lim x 2 raizx^2+12-4raizx^3-4-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O exercício pede para calcular:
limx 2 raizx^2+12 - 4raizx^3-4 - 2
Para resolver esse tipo de limite, vamos precisar entender sobre limites que resultam em formas indeterminadas e como aplicarmos regras de cálculo de limites, como a Regra de L’Hôpital, que é super útil quando nos deparamos com formas como ou .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir raiz2^2+12 - 4raiz2^3-4 - 2 = raiz4 + 12 - 4raiz8 - 4 - 2 = raiz16 - 4raiz4 - 2 = 4 - 42 - 2 = 00 na expressão para ver se obtemos uma forma indeterminada:
Como resultou em , podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador:
Derivada do numerador:
ddx ( raizx^2+12 - 4 ) = ddx raizx^2+12 = 12raizx^2+12 cdot 2x = xraizx^2+12
Derivada do denominador:
ddx ( raizx^3-4 - 2 ) = ddx raizx^3-4 = 12raizx^3-4 cdot 3x^2 = 3x^22raizx^3-4

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas no limite:
limx 2 xraizx^2+123x^22raizx^3-4 = limx 2 2x raizx^3-43x^2 raizx^2+12 = limx 2 2 raizx^3-43x raizx^2+12

Passo 5

Agora, substituímos 2 raiz2^3-43 cdot 2 raiz2^2+12 = 2 raiz8 - 46 raiz4 + 12 = 2 raiz46 raiz16 = 2 cdot 26 cdot 4 = 424 = 16 na nova expressão:

Resposta

O limite é igual a .

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