Calcule os limites abaixo 10 lim x 5 x^2-3 x-10sen(x^2-8 x+15)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente precisa calcular o limite quando se aproxima de 5 para a expressão . Estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, mais especificamente com limites. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão e talvez usar algumas regras de cálculo de limites, como a Regra de L’Hôpital se necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a expressão dentro do limite: . Vamos substituir diretamente para ver se conseguimos resolver facilmente.
Substituindo:
  • Numerador:
  • Argumento do seno:
  • Denominador:
Então, temos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar ou usar outra técnica, como a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que se o limite de f'(x) = 2x - 3 resulta em g'(x) = cos(x^2 - 8x + 15) cdot (2x - 8) ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente.
Primeiro, derivamos o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador :
  • Derivada do denominador :
    Pela regra da cadeia, a derivada é:

Passo 4

Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital, o limite original se transforma em:
10 cdot limx to 5 f'(x)g'(x) = 10 cdot limx to 5 2x - 3cos(x^2 - 8x + 15) cdot (2x - 8)
Vamos simplificar essa expressão substituindo 10 cdot 71 cdot 2 = 10 cdot 72 :
  • Numerador:
  • Argumento do cosseno:
  • Cosseno:
  • Denominador:
Então, a expressão simplificada fica:

Resposta

Portanto, o limite é .

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