Calcule os limites abaixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente precisa calcular o limite quando
se aproxima de 5 para a expressão
. Estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, mais especificamente com limites. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão e talvez usar algumas regras de cálculo de limites, como a Regra de L’Hôpital se necessário.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a expressão dentro do limite:
. Vamos substituir
diretamente para ver se conseguimos resolver facilmente.
Substituindo:
- Numerador:
- Argumento do seno:
- Denominador:
Então, temos uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos simplificar ou usar outra técnica, como a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que se o limite de
resulta em
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente.
Primeiro, derivamos o numerador e o denominador:
-
Derivada do numerador
: -
Derivada do denominador
:
Pela regra da cadeia, a derivada é:
Passo 4
Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital, o limite original se transforma em:
Vamos simplificar essa expressão substituindo
:
- Numerador:
- Argumento do cosseno:
- Cosseno:
- Denominador:
Então, a expressão simplificada fica:
Resposta
Portanto, o limite é
.
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Determine a solução completa das equações não-homogêneas:
Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
;
Seja
uma função real e
. Defina: a derivada de
no ponto
.
Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
;