Seja f(x) uma função real e a in R. Defina: a derivada de f(x) no ponto a.

Passo 1

O exercício pede para definirmos a derivada de uma função real no ponto . Vamos trabalhar com o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente com o conceito de derivada, e para isso vamos precisar entender como calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a taxa de variação da função naquele ponto, ou seja, quão rápido a função está aumentando ou diminuindo.

Passo 3

Para definir a derivada de no ponto , usamos o limite da razão entre a variação da função e a variação da variável, quando essa variação tende a zero. Isso evita que a variação seja infinitamente pequena.

Passo 4

Matematicamente, a derivada de no ponto é expressa pela seguinte fórmula:
Essa expressão calcula o limite da diferença entre o valor da função em e em , dividida por , quando se aproxima de zero.

Resposta

A derivada de no ponto é dada por:

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