Calcule os limites abaixo 10 lim x 0(1+5 x)^2x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular . Isso envolve o estudo de limites exponenciais, onde usamos propriedades dos logaritmos e da função exponencial para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos focar apenas no limite dentro do parênteses: L = lim x 0(1+5x)^2x . Para facilitar, vamos chamar esse limite de :

Passo 3

Agora, para resolver esse limite, vamos usar logaritmos. Isso porque trabalhar com exponenciais pode ser complicado diretamente. Pegamos o logaritmo natural dos dois lados:
ln(L) = lim x 0 2x ln(1 + 5x)

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do limite. Sabemos que quando ln(L) approx lim x 0 2x cdot 5x = lim x 0 10 = 10 está próximo de 0, (essa é uma aproximação conhecida da série de Taylor para o logaritmo). Então:

Passo 5

Agora que temos L = e^10 , para encontrar , precisamos “desfazer” o logaritmo tomando a exponencial dos dois lados:

Resposta

Portanto, o valor do limite é .

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