Calcule os limites abaixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular
. Isso envolve o estudo de limites exponenciais, onde usamos propriedades dos logaritmos e da função exponencial para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos focar apenas no limite dentro do parênteses:
. Para facilitar, vamos chamar esse limite de
:
Passo 3
Agora, para resolver esse limite, vamos usar logaritmos. Isso porque trabalhar com exponenciais pode ser complicado diretamente. Pegamos o logaritmo natural dos dois lados:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro do limite. Sabemos que quando
está próximo de 0,
(essa é uma aproximação conhecida da série de Taylor para o logaritmo). Então:
Passo 5
Agora que temos
, para encontrar
, precisamos “desfazer” o logaritmo tomando a exponencial dos dois lados:
Resposta
Portanto, o valor do limite é
.
Exercícios relacionados
Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
.
Calcule os limites abaixo
Determine a solução completa das equações não-homogêneas:
.
Encontre as assíntotas verticais e horizontais da função
, caso existam.