Resolva os problemas de valor inicial abaixo: y'' + 4y' + 13y = 10 cos(2x), y(0) = 0, y'(0) = 5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é assim: , com as condições iniciais e . O conteúdo que vamos precisar aqui envolve resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e encontrar a solução geral usando métodos de equações homogêneas e particulares. Vamos precisar usar um pouco de álgebra e trigonometria também.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é . Para isso, montamos a equação característica associada:
Isso ajuda a encontrar soluções da forma .

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, temos raízes complexas, o que indica que a solução homogênea terá termos exponenciais combinados com funções trigonométricas.

Passo 4

Então, a solução homogênea fica:
Onde e são constantes que vamos determinar mais tarde com as condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a parte não homogênea . Como o lado direito é um cosseno, tentamos uma solução na forma:
Aqui, e são constantes que precisamos achar.

Passo 6

Calculamos as derivadas de :
Substituímos , e na equação original:

Passo 7

Simplificando a substituição:

Passo 8

Igualando os coeficientes de e de cada lado, temos o sistema:
Resolvendo esse sistema para e .

Passo 9

Da segunda equação: .
Substituindo na primeira equação:
Então, .

Passo 10

Então, a solução particular é:

Passo 11

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 12

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, :

Passo 13

Agora, calculamos a derivada da solução geral:
Simplificando em e usando :

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:

Exercícios relacionados