Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é assim:
, com as condições iniciais
e
. O conteúdo que vamos precisar aqui envolve resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e encontrar a solução geral usando métodos de equações homogêneas e particulares. Vamos precisar usar um pouco de álgebra e trigonometria também.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é
. Para isso, montamos a equação característica associada:
Isso ajuda a encontrar soluções da forma
.
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, temos raízes complexas, o que indica que a solução homogênea terá termos exponenciais combinados com funções trigonométricas.
Passo 4
Então, a solução homogênea
fica:
Onde
e
são constantes que vamos determinar mais tarde com as condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a parte não homogênea
. Como o lado direito é um cosseno, tentamos uma solução na forma:
Aqui,
e
são constantes que precisamos achar.
Passo 6
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos
,
e
na equação original:
Passo 7
Simplificando a substituição:
Passo 8
Igualando os coeficientes de
e
de cada lado, temos o sistema:
Resolvendo esse sistema para
e
.
Passo 9
Da segunda equação:
⇒
.
Substituindo na primeira equação:
Então,
.
Passo 10
Então, a solução particular é:
Passo 11
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 12
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro,
:
Passo 13
Agora, calculamos a derivada da solução geral:
Simplificando em
e usando
:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é: