Determine a solução completa das equações não-homogêneas: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial não homogênea . Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da não homogênea. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação: . Para isso, vamos encontrar as raízes da equação característica associada.
Passo 3
A equação característica é . Resolvendo essa equação quadrática, encontramos:
Então, temos uma raiz dupla .
Passo 4
Com a raiz dupla , a solução geral da parte homogênea é:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea . Primeiro, simplificamos o lado direito usando a identidade trigonométrica:
Então, a equação fica:
Passo 6
Para encontrar , assumimos uma forma que inclua termos constantes e funções trigonométricas:
onde , e são constantes a serem determinadas.
Passo 7
Calculamos as derivadas de :
Passo 8
Substituímos , e na equação original:
Passo 9
Simplificamos a equação:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 10
Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação: =>
Substituindo na segunda equação:
Então,
Passo 11
Agora, temos os valores:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução completa da equação diferencial é:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.