Determine a solução completa das equações não-homogêneas: y'' + 2y' + y = sen^2(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial não homogênea . Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da não homogênea. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação: . Para isso, vamos encontrar as raízes da equação característica associada.

Passo 3

A equação característica é . Resolvendo essa equação quadrática, encontramos:
Então, temos uma raiz dupla .

Passo 4

Com a raiz dupla , a solução geral da parte homogênea é:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea . Primeiro, simplificamos o lado direito usando a identidade trigonométrica:
Então, a equação fica:

Passo 6

Para encontrar , assumimos uma forma que inclua termos constantes e funções trigonométricas:
onde , e são constantes a serem determinadas.

Passo 7

Calculamos as derivadas de :

Passo 8

Substituímos , e na equação original:

Passo 9

Simplificamos a equação:
Agrupando termos semelhantes:

Passo 10

Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação: =>
Substituindo na segunda equação:
Então,

Passo 11

Agora, temos os valores:
Então, a solução particular é:

Resposta

A solução completa da equação diferencial é:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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