Encontre as assíntotas verticais e horizontais da função
, caso existam.
Passo 1
Vamos analisar o exercício: precisamos encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função
. Esse problema está relacionado ao estudo de funções racionais e suas assíntotas. Para resolvê-lo, vamos precisar identificar os valores de
que tornam o denominador igual a zero (que podem indicar assíntotas verticais) e entender o comportamento da função quando
tende ao infinito (para encontrar a assíntota horizontal).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. As assíntotas verticais acontecem nos valores de
que tornam o denominador igual a zero, desde que o numerador não seja zero nesses mesmos pontos.
Temos o denominador
. Vamos resolver a equação
:
Pode-se resolver essa equação quadrática fatorando ou usando a fórmula de Bhaskara. Fatorando:
Assim, as soluções são
e
.
Agora, verificamos se o numerador também é zero nesses pontos:
Para
:
Para
:
Portanto, a função tem assíntotas verticais em
e
.
Passo 3
Agora, vamos determinar a assíntota horizontal. Para funções racionais, a assíntota horizontal depende dos graus do polinômio no numerador e no denominador:
- Se o grau do numerador for menor que o grau do denominador, a assíntota horizontal é
. - Se os graus forem iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
- Se o grau do numerador for maior, não há assíntota horizontal (pode haver assíntotas oblíquas).
No nosso caso, o grau do numerador
é 2 e o grau do denominador
também é 2. Como os graus são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos
:
Resposta
A função possui assíntotas verticais em
e
, e uma assíntota horizontal em
.
Exercícios relacionados
Determine a solução completa das equações não-homogêneas:
.
Calcule os limites abaixo
Seja
. Calcule a função derivada de
(via limite!).
Calcular as integrais :