Encontre as assíntotas verticais e horizontais da função f(x) = (x^2 - 3x - 5) / (x^2 - 4x + 3), caso existam.

Passo 1

Vamos analisar o exercício: precisamos encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função . Esse problema está relacionado ao estudo de funções racionais e suas assíntotas. Para resolvê-lo, vamos precisar identificar os valores de que tornam o denominador igual a zero (que podem indicar assíntotas verticais) e entender o comportamento da função quando tende ao infinito (para encontrar a assíntota horizontal).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. As assíntotas verticais acontecem nos valores de que tornam o denominador igual a zero, desde que o numerador não seja zero nesses mesmos pontos.
Temos o denominador . Vamos resolver a equação :
Pode-se resolver essa equação quadrática fatorando ou usando a fórmula de Bhaskara. Fatorando:
Assim, as soluções são e .
Agora, verificamos se o numerador também é zero nesses pontos:
Para :
Para :
Portanto, a função tem assíntotas verticais em e .

Passo 3

Agora, vamos determinar a assíntota horizontal. Para funções racionais, a assíntota horizontal depende dos graus do polinômio no numerador e no denominador:
  • Se o grau do numerador for menor que o grau do denominador, a assíntota horizontal é .
  • Se os graus forem iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
  • Se o grau do numerador for maior, não há assíntota horizontal (pode haver assíntotas oblíquas).
No nosso caso, o grau do numerador é 2 e o grau do denominador também é 2. Como os graus são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos :

Resposta

A função possui assíntotas verticais em e , e uma assíntota horizontal em .

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