Esboce o gráfico de cada função
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos esboçar o gráfico da função
. Para fazer isso, vamos usar conhecimentos de análise de gráficos de funções racionais. Precisaremos identificar domínio, interceptos, assíntotas e analisar o comportamento da função.
Passo 2
Vamos começar determinando o domínio da função. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida. Aqui, o denominador
não pode ser zero, pois divisão por zero não é permitida. Então, resolvendo:
Domínio: Todos os números reais exceto
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os interceptos do gráfico.
- Intercepto com o eixo y: Quando
.
Então, o intercepto com o eixo y é
.
- Intercepto com o eixo x: Quando
.
Então, o intercepto com o eixo x também é
.
Passo 4
Vamos identificar as assíntotas da função.
-
Assíntota vertical: Ocorre onde a função não está definida, ou seja, em
. -
Assíntota horizontal ou oblíqua: Analisamos o comportamento da função quando
tende ao infinito.
Como o grau do numerador é maior que o do denominador, temos uma assíntota oblíqua. Para encontrá-la, dividimos o numerador pelo denominador:
Então, a assíntota oblíqua é
.
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da função nas regiões divididas pelas assíntotas.
-
Para
:
A função tende aconforme se aproxima de 4 pela esquerda. -
Para
:
A função tende aconforme se aproxima de 4 pela direita.
Além disso, conforme
tende a
, a função se aproxima da reta
.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Desenhe a assíntota vertical em
. - Desenhe a assíntota oblíqua
. - Marque o ponto de intercepto em
. - Trace as curvas da função aproximando-se das assíntotas conforme analisado.
Resposta
O gráfico da função
possui uma assíntota vertical em
, uma assíntota oblíqua
, intercepta os eixos em
e apresenta comportamento conforme descrito, conforme o esboço detalhado acima.
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satisfaz o Teorema de Rolle no intervalo
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18 a) (Sugestio faça
)
18 a)
Calcule os limites abaixo:
b)
b)
Determine, se existir, as assíntotas de cada uma das funções abaixo e faça o gráfico das mesmas.