Calcule os limites abaixo com o auxílio da Regra de L(d)
Passo 1
Beleza, vamos calcular o limite
usando a Regra de L’Hôpital. Esse tipo de problema está dentro do estudo de limites, especialmente quando lidamos com funções que crescem ou decrescem muito rápido. Para resolver isso, vamos precisar identificar se estamos diante de uma forma indeterminada e, se sim, aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos ajuda a calcular limites que inicialmente não dão um resultado claro.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento das funções envolvidas quando
tende ao infinito:
-
é uma função exponencial decrescente, que tende a 0 conforme cresce. -
é uma função logarítmica crescente, que tende ao infinito conforme cresce.
Então, temos uma situação onde multiplicamos algo que tende a 0 por algo que tende ao infinito, o que nos dá uma forma indeterminada do tipo
. Para aplicar a Regra de L’Hôpital, vamos reescrever esse produto como uma fração.
Passo 3
Podemos reescrever
como
. Agora temos o limite na forma:
Agora, observamos que quando
tende ao infinito:
- O numerador
tende ao infinito. - O denominador
também tende ao infinito.
Então, temos uma forma indeterminada do tipo
, que é exatamente o cenário perfeito para aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 4
A Regra de L’Hôpital diz que se temos um limite na forma
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas.
Vamos derivar o numerador e o denominador:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é (usando a regra da cadeia).
Então, aplicando a Regra de L’Hôpital, temos:
Passo 5
Agora, vamos analisar o novo limite
.
Aqui, o denominador
tende ao infinito porque ambas as partes
e
crescem sem limites. Portanto, a fração
tende a 0.
Resposta
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