Calcule os limites abaixo com o auxílio da Regra de L(d) lim x infty e^-3 x ln x

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite usando a Regra de L’Hôpital. Esse tipo de problema está dentro do estudo de limites, especialmente quando lidamos com funções que crescem ou decrescem muito rápido. Para resolver isso, vamos precisar identificar se estamos diante de uma forma indeterminada e, se sim, aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos ajuda a calcular limites que inicialmente não dão um resultado claro.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento das funções envolvidas quando tende ao infinito:
  • é uma função exponencial decrescente, que tende a 0 conforme cresce.
  • é uma função logarítmica crescente, que tende ao infinito conforme cresce.
Então, temos uma situação onde multiplicamos algo que tende a 0 por algo que tende ao infinito, o que nos dá uma forma indeterminada do tipo . Para aplicar a Regra de L’Hôpital, vamos reescrever esse produto como uma fração.

Passo 3

Podemos reescrever limx infty ln xe^3x como . Agora temos o limite na forma:
Agora, observamos que quando tende ao infinito:
  • O numerador tende ao infinito.
  • O denominador também tende ao infinito.
Então, temos uma forma indeterminada do tipo , que é exatamente o cenário perfeito para aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 4

A Regra de L’Hôpital diz que se temos um limite na forma limx infty ln xe^3x = limx infty 1x3e^3x = limx infty 13x e^3x ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas.
Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia).
Então, aplicando a Regra de L’Hôpital, temos:

Passo 5

Agora, vamos analisar o novo limite .
Aqui, o denominador tende ao infinito porque ambas as partes e crescem sem limites. Portanto, a fração tende a 0.

Resposta

limx infty e^-3x ln x = 0

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