Determine a derivada da função vetorial. r(t) = (t * sen(t), t^2, t * cos(2 * t))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a derivada da função vetorial . Isso está relacionado ao cálculo de derivadas de funções vetoriais, onde precisamos derivar cada componente da função separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função vetorial é simplesmente a derivada de cada uma das suas componentes. Ou seja, se , então .

Passo 3

Vamos derivar a primeira componente: . Aqui, usamos a regra do produto, que diz que .

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
  • então
  • então
    Portanto, .

Passo 5

Agora, a segunda componente: . A derivada é direta:
.

Passo 6

Por último, a terceira componente: . Novamente, usamos a regra do produto.

Passo 7

Aplicando a regra do produto:
  • então
  • então (usamos a regra da cadeia aqui)
    Portanto, .

Resposta

A derivada da função vetorial é

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