Calcule os limites abaixo com o auxílio da Regra de L(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular
usando a Regra de L’Hospital. Esse exercício está dentro do conteúdo de cálculo de limites, especificamente envolvendo limites que resultam em formas indeterminadas. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a Regra de L’Hospital e manipular expressões matemáticas para identificar a forma apropriada para essa regra.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento das duas partes da expressão conforme
se aproxima de 0 pela direita:
Sabemos que:
-
quando está próximo de 0. -
tende a quando se aproxima de 0 pela direita.
Então, substituindo a aproximação de
:
Portanto, a expressão se torna:
Passo 3
Agora, podemos reescrever o limite para facilitar a aplicação da Regra de L’Hospital. Vamos considerar a expressão como uma divisão:
Isso nos dá a forma
, que não é uma forma indeterminada diretamente aplicável para a Regra de L’Hospital. Então, vamos ajustar a expressão para obter uma forma
ou
.
Passo 4
Vamos reescrever a expressão original dividindo e multiplicando por
:
Agora, temos uma forma
porque:
-
tende a 0 quando . -
também tende a 0, já que tende a .
Isso nos permite aplicar a Regra de L’Hospital.
Passo 5
Aplicando a Regra de L’Hospital, que diz que se
resulta em
ou
, então podemos derivar o numerador e o denominador:
Calculando as derivadas:
Passo 6
Substituindo as derivadas no limite:
Agora, precisamos analisar esse novo limite.
Passo 7
Sabemos que:
-
quando está próximo de 0. -
tende a , então tende a .
Substituindo
:
Passo 8
Agora, analisando
quando
se aproxima de 0:
-
tende a 0. -
tende a .
A expressão fica na forma
, que ainda é indeterminada. Vamos reescrever para aplicar novamente a Regra de L’Hospital.
Passo 9
Reescrevendo a expressão:
Agora, temos a forma
, permitindo reaplicar a Regra de L’Hospital.
Passo 10
Aplicando a Regra de L’Hospital novamente:
Calculando as derivadas:
- Numerador:
- Denominador:
Então, o limite se torna:
Passo 11
Agora, analisando
quando
:
-
tende a 0. -
tende a .
A expressão é do tipo
, que é indeterminada. Vamos reescrever novamente para aplicar a Regra de L’Hospital mais uma vez.
Passo 12
Reescrevendo a expressão:
Agora, temos a forma
, que podemos tratar como
para aplicar a Regra de L’Hospital.
Passo 13
Aplicando a Regra de L’Hospital pela terceira vez:
Calculando as derivadas:
- Numerador:
- Denominador:
Então, o limite se torna:
Resposta
Portanto, o limite é:
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