Calcule os limites abaixo com o auxílio da Regra de L(e) lim x 0^+(1-cos x) ln x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular usando a Regra de L’Hospital. Esse exercício está dentro do conteúdo de cálculo de limites, especificamente envolvendo limites que resultam em formas indeterminadas. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a Regra de L’Hospital e manipular expressões matemáticas para identificar a forma apropriada para essa regra.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento das duas partes da expressão conforme limx 0^+ (1 - cos x) ln x se aproxima de 0 pela direita:
1 - cos x approx x^22
Sabemos que:
  • limx 0^+ x^22 cdot ln x quando está próximo de 0.
  • tende a quando se aproxima de 0 pela direita.
Então, substituindo a aproximação de :
Portanto, a expressão se torna:

Passo 3

Agora, podemos reescrever o limite para facilitar a aplicação da Regra de L’Hospital. Vamos considerar a expressão como uma divisão:
limx 0^+ ln x2x^2
Isso nos dá a forma , que não é uma forma indeterminada diretamente aplicável para a Regra de L’Hospital. Então, vamos ajustar a expressão para obter uma forma ou .

Passo 4

Vamos reescrever a expressão original dividindo e multiplicando por limx 0^+ (1 - cos x)1ln x :
Agora, temos uma forma porque:
  • tende a 0 quando .
  • também tende a 0, já que tende a .
Isso nos permite aplicar a Regra de L’Hospital.

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hospital, que diz que se limx 0^+ (1 - cos x)1ln x = limx 0^+ f'(x)g'(x) resulta em ou , então podemos derivar o numerador e o denominador:
Calculando as derivadas:

Passo 6

Substituindo as derivadas no limite:
limx 0^+ sin x-1x (ln x)^2 = limx 0^+ -x (ln x)^2 sin x
Agora, precisamos analisar esse novo limite.

Passo 7

Sabemos que:
  • limx 0^+ -x (ln x)^2 cdot x = limx 0^+ -x^2 (ln x)^2 quando está próximo de 0.
  • tende a , então tende a .
Substituindo :

Passo 8

Agora, analisando quando se aproxima de 0:
  • tende a 0.
  • tende a .
A expressão fica na forma , que ainda é indeterminada. Vamos reescrever para aplicar novamente a Regra de L’Hospital.

Passo 9

Reescrevendo a expressão:
limx 0^+ -x^2 (ln x)^2 = limx 0^+ -(ln x)^21x^2
Agora, temos a forma , permitindo reaplicar a Regra de L’Hospital.

Passo 10

Aplicando a Regra de L’Hospital novamente:
Calculando as derivadas:
  • Numerador: limx 0^+ -2 ln x cdot 1x-2x^3 = limx 0^+ 2 ln x2 cdot x^2 = limx 0^+ ln x cdot x^2
  • Denominador:
Então, o limite se torna:

Passo 11

Agora, analisando quando :
  • tende a 0.
  • tende a .
A expressão é do tipo , que é indeterminada. Vamos reescrever novamente para aplicar a Regra de L’Hospital mais uma vez.

Passo 12

Reescrevendo a expressão:
limx 0^+ ln x cdot x^2 = limx 0^+ ln x1x^2
Agora, temos a forma , que podemos tratar como para aplicar a Regra de L’Hospital.

Passo 13

Aplicando a Regra de L’Hospital pela terceira vez:
Calculando as derivadas:
  • Numerador: limx 0^+ 1x-2x^3 = limx 0^+ -x^22
  • Denominador:
Então, o limite se torna:

Resposta

Portanto, o limite é:
limx 0^+ (1 - cos x) ln x = 0

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