Calcule os limites abaixo com o auxílio da Regra de L(g) lim x 0^+(cos 3 x)^1sen x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de limites que envolvem funções exponenciais e logarítmicas, além da Regra de L’Hospital para resolver formas indeterminadas. Vamos precisar entender como transformar expressões complicadas em algo que a gente consiga manejar melhor usando essas ferramentas.

Passo 2

Primeiro, observe que temos uma expressão da forma limx to 0^+ (cos 3x)^1sin x = exp( limx to 0^+ ln(cos 3x)sin x ) , onde e . Para calcular o limite dessa expressão, podemos usar a propriedade dos logaritmos que nos permite trazer o expoente para fora. Ou seja, podemos reescrever o limite como:
Isso facilita porque agora precisamos calcular o limite dentro da função exponencial.

Passo 3

Agora, vamos focar no limite dentro do logaritmo:
limx to 0^+ ln(cos 3x)sin x
Quando se aproxima de 0, se aproxima de , então se aproxima de , e também se aproxima de 0. Portanto, temos uma forma indeterminada do tipo , que é perfeita para aplicar a Regra de L’Hospital.

Passo 4

A Regra de L’Hospital diz que se temos limx to c f(x)g(x) = limx to c f'(x)g'(x) na forma f(x) = ln(cos 3x) Rightarrow f'(x) = -3 sin 3xcos 3x ou g(x) = sin x Rightarrow g'(x) = cos x , então podemos calcular o limite derivando o numerador e o denominador:
Aplicando isso ao nosso limite:

Passo 5

Substituindo as derivadas no limite:
limx to 0^+ ln(cos 3x)sin x = limx to 0^+ -3 sin 3x / cos 3xcos x = limx to 0^+ -3 sin 3xcos 3x cdot cos x

Passo 6

Agora, vamos avaliar o limite conforme sin 3x approx 3x (quando x to 0) se aproxima de 0:
cos 3x approx 1 e cos x approx 1
-3 cdot 3x1 cdot 1 = -9x
Então:
E quando , .

Passo 7

Portanto, o limite dentro da exponencial é 0:
limx to 0^+ ln(cos 3x)sin x = 0

Resposta

Finalmente, substituindo de volta na exponencial:
lim x 0^+(cos 3x)^1sin x = e^0 = 1

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^a Questão Calcule integral 1raizx^2-9 d x. Dica: integral sec (theta) d theta=integral sec (theta) sec (theta)+tan (theta)sec (theta)+tan (theta) d theta.
a Questão Calcule as derivadas, exibindo todos os seus cálculos:
(a) f(x) = e^(cos(x)) + 2^x
Determine a derivada da função vetorial. r(t) = (t * sen(t), t^2, t * cos(2 * t))
Calcule os limites abaixo com o auxílio da Regra de L(d) lim x infty e^-3 x ln x