Calcule os limites abaixo com o auxílio da Regra de L(g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de limites que envolvem funções exponenciais e logarítmicas, além da Regra de L’Hospital para resolver formas indeterminadas. Vamos precisar entender como transformar expressões complicadas em algo que a gente consiga manejar melhor usando essas ferramentas.
Passo 2
Primeiro, observe que temos uma expressão da forma
, onde
e
. Para calcular o limite dessa expressão, podemos usar a propriedade dos logaritmos que nos permite trazer o expoente para fora. Ou seja, podemos reescrever o limite como:
Isso facilita porque agora precisamos calcular o limite dentro da função exponencial.
Passo 3
Agora, vamos focar no limite dentro do logaritmo:
Quando
se aproxima de 0,
se aproxima de
, então
se aproxima de
, e
também se aproxima de 0. Portanto, temos uma forma indeterminada do tipo
, que é perfeita para aplicar a Regra de L’Hospital.
Passo 4
A Regra de L’Hospital diz que se temos
na forma
ou
, então podemos calcular o limite derivando o numerador e o denominador:
Aplicando isso ao nosso limite:
Passo 5
Substituindo as derivadas no limite:
Passo 6
Agora, vamos avaliar o limite conforme
se aproxima de 0:
Então:
E quando
,
.
Passo 7
Portanto, o limite dentro da exponencial é 0:
Resposta
Finalmente, substituindo de volta na exponencial:
Exercícios relacionados
(a)
Determine a derivada da função vetorial.
Calcule os limites abaixo com o auxílio da Regra de L(d)