Calcule os limites abaixo com o auxílio da Regra de L©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite de
quando
se aproxima de 0 pela direita. Estamos lidando com cálculo de limites e vamos usar a Regra de L’Hôpital para nos ajudar nessa resolução. Para isso, precisamos lembrar que a Regra de L’Hôpital é útil quando temos formas indeterminadas como
ou
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma indeterminada que temos. Quando
se aproxima de 0 pela direita:
-
se aproxima de 0. -
se aproxima de . - Portanto,
se aproxima de .
Assim,
está na forma
, que é uma forma indeterminada. Para aplicar a Regra de L’Hôpital, precisamos transformar essa expressão em uma fração que forme
ou
.
Passo 3
Vamos reescrever a expressão
como uma fração:
Agora, temos uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador tendem ao infinito quando
se aproxima de 0 pela direita. Isso nos dá uma forma
, apropriada para aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 4
Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a
:
- Derivada do numerador
:
- Derivada do denominador
:
Passo 5
Substituindo as derivadas na aplicação da Regra de L’Hôpital, temos:
Passo 6
Agora, basta calcular o limite de
quando
se aproxima de 0 pela direita. Como
tende a
quando
tende a 0 pela direita, temos:
Resposta
O limite é
.
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e)
a)