Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais que envolvem expressões com raízes quadradas de funções quadráticas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica, que nos ajuda a simplificar integrais complicadas usando funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Note que se parece com a identidade trigonométrica . Portanto, vamos definir:
Essa substituição facilita a transformação da integral em termos de .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir na integral. Diferenciando ambos os lados:
Então, substituímos na integral original.
Passo 4
Substituindo e na integral, temos:
Vamos simplificar o denominador dentro da raiz.
Passo 5
Calculando o que está dentro da raiz:
Portanto, a raiz se simplifica para .
Passo 6
Substituindo de volta na integral:
Agora, a integral ficou muito mais simples!
Passo 7
A integral de é uma integral padrão. Sabemos que:
onde é a constante de integração.
Passo 8
Agora, precisamos voltar à variável original . Lembrando que fizemos , então:
Substituindo de volta na expressão da integral:
Resposta
Portanto, a solução da integral é:
integral 1raizx^2-9 , dx = ln | x + raizx^2 - 9 | + C