^a Questão Calcule integral 1raizx^2-9 d x. Dica: integral sec (theta) d theta=integral sec (theta) sec (theta)+tan (theta)sec (theta)+tan (theta) d theta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais que envolvem expressões com raízes quadradas de funções quadráticas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica, que nos ajuda a simplificar integrais complicadas usando funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Note que x = 3 sec(theta) se parece com a identidade trigonométrica . Portanto, vamos definir:
Essa substituição facilita a transformação da integral em termos de .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dx = 3 sec(theta) tan(theta) , dtheta em relação a para substituir na integral. Diferenciando ambos os lados:
Então, substituímos na integral original.

Passo 4

Substituindo integral 1raiz(3 sec(theta))^2 - 9 cdot 3 sec(theta) tan(theta) , dtheta e na integral, temos:
Vamos simplificar o denominador dentro da raiz.

Passo 5

Calculando o que está dentro da raiz:
(3 sec(theta))^2 - 9 = 9 sec^2(theta) - 9 = 9(sec^2(theta) - 1) = 9 tan^2(theta)
Portanto, a raiz se simplifica para .

Passo 6

Substituindo de volta na integral:
integral 13 tan(theta) cdot 3 sec(theta) tan(theta) , dtheta = integral sec(theta) , dtheta
Agora, a integral ficou muito mais simples!

Passo 7

A integral de integral sec(theta) , dtheta = ln |sec(theta) + tan(theta)| + C é uma integral padrão. Sabemos que:
onde é a constante de integração.

Passo 8

Agora, precisamos voltar à variável original sec(theta) = x3 e tan(theta) = raizsec^2(theta) - 1 = raiz(x3)^2 - 1 = raizx^2 - 93 . Lembrando que fizemos ln | x3 + raizx^2 - 93 | + C = ln | x + raizx^2 - 93 | + C , então:
Substituindo de volta na expressão da integral:

Resposta

Portanto, a solução da integral é:
integral 1raizx^2-9 , dx = ln | x + raizx^2 - 9 | + C

Exercícios relacionados

a Questão Calcule as derivadas, exibindo todos os seus cálculos:
(a) f(x) = e^(cos(x)) + 2^x
^a Questão Usando frações parciais, calcule integral xx^2-3 x-4 d x.
Calcule os limites abaixo com o auxílio da Regra de L(g) lim x 0^+(cos 3 x)^1sen x
Determine a derivada da função vetorial. r(t) = (t * sen(t), t^2, t * cos(2 * t))