Questão Calcule
. Dica:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais que envolvem expressões com raízes quadradas de funções quadráticas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica, que nos ajuda a simplificar integrais complicadas usando funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Note que
se parece com a identidade trigonométrica
. Portanto, vamos definir:
Essa substituição facilita a transformação da integral em termos de
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
na integral. Diferenciando ambos os lados:
Então, substituímos
na integral original.
Passo 4
Substituindo
e
na integral, temos:
Vamos simplificar o denominador dentro da raiz.
Passo 5
Calculando o que está dentro da raiz:
Portanto, a raiz se simplifica para
.
Passo 6
Substituindo de volta na integral:
Agora, a integral ficou muito mais simples!
Passo 7
A integral de
é uma integral padrão. Sabemos que:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Agora, precisamos voltar à variável original
. Lembrando que fizemos
, então:
Substituindo de volta na expressão da integral:
Resposta
Portanto, a solução da integral é: