Calcule os limites abaixo. b) (10 pontos) lim x infty(1+2x+1)^3 x.

Passo 1

Tá, vamos lá! A gente precisa calcular o limite . Esse tipo de problema está relacionado com limites envolvendo funções exponenciais. Para resolver isso, a gente vai usar algumas propriedades de limites e a definição do número .

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão:
limx to infty (1 + 2x+1)^3x
Quando limx to infty (1 + 2x)^3x tende para o infinito, também tende para o infinito. Então, podemos simplificar para , já que a diferença de 1 fica desprezível nesse caso. Assim, a expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula famosa:
limn to infty (1 + an)^bn = e^ab
Onde é aproximadamente 2,71828, uma constante importante nas exponenciais. Comparando com a nossa expressão:

Passo 4

Aplicando esses valores na fórmula, temos:
limx to infty (1 + 2x)^3x = e^2 times 3 = e^6

Resposta

e^6

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