Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, demonstre-a; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
( ) A série harmônica diverge.
( ) A série harmônica diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está perguntando se a afirmação “A série harmônica diverge” é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, a gente precisa entender o que é a série harmônica e o que significa uma série divergir ou convergir.
Passo 2
Primeiro, a série harmônica é uma soma infinita que olha assim:
Ou seja, a gente vai adicionando frações onde o denominador aumenta de 1 em 1.
Passo 3
Agora, para saber se essa série diverge (isto é, cresce sem limite) ou converge (se aproxima de um número finito), podemos usar o Teste da Integral. Esse teste compara a série com uma integral para ver o comportamento dela.
Passo 4
Vamos aplicar o Teste da Integral à série harmônica. Pensamos na integral de
de 1 até o infinito:
Passo 5
Calculando a integral:
Como
cresce sem parar quando
vai para o infinito, a integral também cresce sem limite.
Passo 6
Segundo o Teste da Integral, se a integral associada a uma série diverge, então a própria série também diverge. Então, já que a integral deu infinito, concluímos que a série harmônica também diverge.
Resposta
Verdadeira. A série harmônica diverge.