Calcule os limites abaixo.
b)
pontos
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Aqui, estamos trabalhando com o conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente usando uma das propriedades do número
relacionada a limites exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar da fórmula
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão para que ela se pareça mais com a fórmula que conhecemos. Observe que:
Aqui, ajustamos o expoente para
dentro dos colchetes, e depois multiplicamos pelo fator
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o que acontece quando
tende ao infinito. O termo
simplifica para:
Isso porque
se aproxima de zero conforme
fica grande.
Passo 4
Vamos focar no termo dentro dos colchetes:
Isso se assemelha exatamente à fórmula
, onde
e
. Sabemos que conforme
tende ao infinito,
Então,
Passo 5
Voltando à expressão completa, temos:
Resposta
O limite é
.
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O Problema de valor inicial:
possui a solução trivial
. Como a equação de terceira ordem é linear com coeficientes constantes,
é a única solução em qualquer intervalo contendo
.
Seja
. Encontre
se existir.