Calcule os limites abaixo.
b) (10 pontos ) lim x infty(1+2x+1)^3 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com o conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente usando uma das propriedades do número relacionada a limites exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar da fórmula .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para que ela se pareça mais com a fórmula que conhecemos. Observe que:
(1 + 2x + 1)^3x = [(1 + 2x + 1)^x + 1]^3xx + 1
Aqui, ajustamos o expoente para dentro dos colchetes, e depois multiplicamos pelo fator .

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece quando 3xx + 1 = 31 + 1x 3 quando x infty tende ao infinito. O termo simplifica para:
Isso porque se aproxima de zero conforme fica grande.

Passo 4

Vamos focar no termo dentro dos colchetes:
(1 + 2x + 1)^x + 1
Isso se assemelha exatamente à fórmula (1 + an)^n e^a , onde (1 + 2x + 1)^x + 1 e^2 quando x infty e . Sabemos que conforme tende ao infinito,
Então,

Passo 5

Voltando à expressão completa, temos:
[(1 + 2x + 1)^x + 1]^3xx + 1 (e^2)^3 = e^6

Resposta

O limite é .

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