Seja . Encontre se existir.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o limite da função quando se aproxima de . Esse tipo de problema cai no conteúdo de limites de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos analisar como a função se comporta perto desse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, para facilitar a análise, vamos trocar para coordenadas polares. Isso porque em coordenadas polares fica mais fácil ver o que acontece quando a distância até a origem tende a zero. As coordenadas polares são dadas por:
onde é a distância até a origem e é o ângulo.

Passo 3

Agora, vamos substituir e na função :
Simplificando o numerador e o denominador:
Como , fica:

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite quando tende a 0:
Como está multiplicando os termos e , que são funções limitadas (sempre entre -1 e 1), o produto todo vai tender a 0.

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

O Problema de valor inicial:
possui a solução trivial . Como a equação de terceira ordem é linear com coeficientes constantes, é a única solução em qualquer intervalo contendo .
Calcule os limites abaixo.
b) pontos .
Verifique que a função é uma solução para o PVI
no intervalo para qualquer escolha do parâmetro .
Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as funções nos exercícios 35-42 não têm limite quando