Seja f(x, y)=x^2 y2 x^2+2 y^2. Encontre lim (x, y) (0,0) f(x, y) se existir.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o limite da função quando se aproxima de . Esse tipo de problema cai no conteúdo de limites de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos analisar como a função se comporta perto desse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, para facilitar a análise, vamos trocar para coordenadas polares. Isso porque em coordenadas polares fica mais fácil ver o que acontece quando a distância até a origem tende a zero. As coordenadas polares são dadas por:
x = r cos(theta)
y = r sin(theta)
onde é a distância até a origem e é o ângulo.

Passo 3

Agora, vamos substituir f(r, theta) = (r cos(theta))^2 cdot r sin(theta)2(r cos(theta))^2 + 2(r sin(theta))^2 e f(r, theta) = r^2 cos^2(theta) cdot r sin(theta)2r^2 cos^2(theta) + 2r^2 sin^2(theta) = r^3 cos^2(theta) sin(theta)2r^2 (cos^2(theta) + sin^2(theta)) na função f(r, theta) = r^3 cos^2(theta) sin(theta)2r^2 = r cos^2(theta) sin(theta)2 :
Simplificando o numerador e o denominador:
Como , fica:

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite quando limr to 0 r cos^2(theta) sin(theta)2 tende a 0:
Como está multiplicando os termos e , que são funções limitadas (sempre entre -1 e 1), o produto todo vai tender a 0.

Resposta

O limite é .

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