Seja
. Encontre
se existir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o limite da função
quando
se aproxima de
. Esse tipo de problema cai no conteúdo de limites de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos analisar como a função se comporta perto desse ponto específico.
Passo 2
Primeiro, para facilitar a análise, vamos trocar para coordenadas polares. Isso porque em coordenadas polares fica mais fácil ver o que acontece quando a distância até a origem tende a zero. As coordenadas polares são dadas por:
onde
é a distância até a origem e
é o ângulo.
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na função
:
Simplificando o numerador e o denominador:
Como
, fica:
Passo 4
Agora, vamos analisar o limite quando
tende a 0:
Como
está multiplicando os termos
e
, que são funções limitadas (sempre entre -1 e 1), o produto todo vai tender a 0.
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
O Problema de valor inicial:
possui a solução trivial
. Como a equação de terceira ordem é linear com coeficientes constantes,
é a única solução em qualquer intervalo contendo
.
Calcule os limites abaixo.
b) pontos
.
b)
Verifique que a função
é uma solução para o PVI
no intervalo
para qualquer escolha do parâmetro
.
Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as funções nos exercícios 35-42 não têm limite quando