Calcule a transformada de Laplace inversa:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a transformada de Laplace inversa da função . Estamos trabalhando com transformadas de Laplace, especificamente usando a técnica de frações parciais para decompor funções racionais em termos mais simples que podemos inverter facilmente.

Passo 2

Para resolver isso, vamos utilizar a decomposição em frações parciais. Nosso objetivo é reescrever como uma soma de frações mais simples, que sejam mais fáceis de inverter usando as tabelas de transformadas de Laplace.

Passo 3

Vamos assumir que conseguimos expressar da seguinte maneira:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos expandir e reunir os termos semelhantes.

Passo 5

Expandindo:
Reunindo os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação.

Passo 6

Igualando os coeficientes, temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar , e .

Passo 7

Da segunda equação, . Substituindo na primeira equação:
Substituindo e na terceira equação:
Então, e .

Passo 8

Agora, substituímos os valores de , e na decomposição inicial:
Simplificando:

Passo 9

Agora, vamos usar as transformadas inversas conhecidas:
Usando isso, podemos encontrar as transformadas inversas de cada termo.

Passo 10

Calculando cada parte:

Resposta

A transformada de Laplace inversa de é:

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b) pontos .