Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a transformada de Laplace inversa da função . Estamos trabalhando com transformadas de Laplace, especificamente usando a técnica de frações parciais para decompor funções racionais em termos mais simples que podemos inverter facilmente.
Passo 2
Para resolver isso, vamos utilizar a decomposição em frações parciais. Nosso objetivo é reescrever como uma soma de frações mais simples, que sejam mais fáceis de inverter usando as tabelas de transformadas de Laplace.
Passo 3
Vamos assumir que conseguimos expressar da seguinte maneira:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos expandir e reunir os termos semelhantes.
Passo 5
Expandindo:
Reunindo os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação.
Passo 6
Igualando os coeficientes, temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar , e .
Passo 7
Da segunda equação, . Substituindo na primeira equação:
Substituindo e na terceira equação:
Então, e .
Passo 8
Agora, substituímos os valores de , e na decomposição inicial:
Simplificando:
Passo 9
Agora, vamos usar as transformadas inversas conhecidas:
Usando isso, podemos encontrar as transformadas inversas de cada termo.