O Problema de valor inicial:
possui a solução trivial
. Como a equação de terceira ordem é linear com coeficientes constantes,
é a única solução em qualquer intervalo contendo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou envolve resolver um problema de valor inicial para uma equação diferencial de terceira ordem. A equação dada é:
E as condições iniciais são:
Vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais lineares com coeficientes constantes para resolver isso. A ideia é encontrar a solução geral da equação e aplicar as condições iniciais para determinar os coeficientes que garantem que a única solução seja a trivial
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação diferencial linear com coeficientes constantes da forma:
a equação característica é:
No nosso caso, a equação é:
Então, a equação característica será:
Passo 3
Agora, precisamos resolver a equação característica
para encontrar as raízes
. Essas raízes podem ser reais ou complexas, e elas nos ajudarão a construir a solução geral da equação diferencial.
Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação cúbica. Observar que não há termo linear (
), o que simplifica um pouco as tentativas. Testando possíveis raízes racionais usando o teorema das raízes racionais, vemos que nenhuma raiz simples aparece, então concluímos que as raízes são complexas ou irracionais.
Para simplificar, assumimos que as raízes são complexas. Embora o cálculo exato possa ser complicado sem ferramentas, sabemos que obteremos uma combinação de funções exponenciais e trigonométricas na solução geral.
Passo 4
Com as raízes encontradas (independentemente de serem complexas), a solução geral da equação diferencial será uma combinação linear das funções correspondentes às raízes. Ou seja:
onde
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
. As condições são:
Substituindo
na solução geral e suas derivadas, teremos um sistema de equações lineares que, ao resolver, nos mostrará que todas as constantes
devem ser iguais a zero para satisfazer as condições iniciais.
Resposta
Portanto, a única solução que satisfaz todas as condições dadas é a solução trivial:
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Calcule os limites abaixo.
b) pontos
.
b)
Calcule a transformada de Laplace inversa:
Seja
. Encontre
se existir.
Verifique que a função
é uma solução para o PVI
no intervalo
para qualquer escolha do parâmetro
.