O Problema de valor inicial:
possui a solução trivial . Como a equação de terceira ordem é linear com coeficientes constantes, é a única solução em qualquer intervalo contendo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou envolve resolver um problema de valor inicial para uma equação diferencial de terceira ordem. A equação dada é:
E as condições iniciais são:
Vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais lineares com coeficientes constantes para resolver isso. A ideia é encontrar a solução geral da equação e aplicar as condições iniciais para determinar os coeficientes que garantem que a única solução seja a trivial .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação diferencial linear com coeficientes constantes da forma:
a equação característica é:
No nosso caso, a equação é:
Então, a equação característica será:

Passo 3

Agora, precisamos resolver a equação característica para encontrar as raízes . Essas raízes podem ser reais ou complexas, e elas nos ajudarão a construir a solução geral da equação diferencial.
Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação cúbica. Observar que não há termo linear ( ), o que simplifica um pouco as tentativas. Testando possíveis raízes racionais usando o teorema das raízes racionais, vemos que nenhuma raiz simples aparece, então concluímos que as raízes são complexas ou irracionais.
Para simplificar, assumimos que as raízes são complexas. Embora o cálculo exato possa ser complicado sem ferramentas, sabemos que obteremos uma combinação de funções exponenciais e trigonométricas na solução geral.

Passo 4

Com as raízes encontradas (independentemente de serem complexas), a solução geral da equação diferencial será uma combinação linear das funções correspondentes às raízes. Ou seja:
onde são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes . As condições são:
Substituindo na solução geral e suas derivadas, teremos um sistema de equações lineares que, ao resolver, nos mostrará que todas as constantes devem ser iguais a zero para satisfazer as condições iniciais.

Resposta

Portanto, a única solução que satisfaz todas as condições dadas é a solução trivial:

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Calcule os limites abaixo.
b) pontos .
Calcule a transformada de Laplace inversa:
Seja . Encontre se existir.
Verifique que a função é uma solução para o PVI
no intervalo para qualquer escolha do parâmetro .