Calcule os limites abaixo. (b)

Passo 1

Vamos resolver o limite . Este exercício está relacionado ao conceito de derivada, que é uma ferramenta fundamental no cálculo para entender como uma função muda em determinado ponto. Para resolver esse limite, vamos precisar entender a definição de derivada e como manipular expressões de limites.

Passo 2

Primeiro, lembremos da definição da derivada de uma função no ponto :
Este limite nos dá a taxa de variação instantânea da função no ponto .

Passo 3

Agora, vamos analisar o nosso limite:
Observamos que, em vez de , temos . Para facilitar a resolução, vamos fazer uma substituição: seja . Assim, quando , também .

Passo 4

Reescrevendo o limite em termos de , temos:
Aqui, substituímos por , então .

Passo 5

Simplificando a expressão:
Fatoramos o 3 para fora do limite.

Passo 6

Reconhecemos que:
Portanto, substituindo de volta:

Resposta

O limite é igual a .

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a) Esboce o gráfico da serie de Fourier da função
no intervalo .
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É correto que: é ponto crítico. Considere a função .
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