Calcule os limites abaixo. (b)
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Este exercício está relacionado ao conceito de derivada, que é uma ferramenta fundamental no cálculo para entender como uma função muda em determinado ponto. Para resolver esse limite, vamos precisar entender a definição de derivada e como manipular expressões de limites.
Passo 2
Primeiro, lembremos da definição da derivada de uma função
no ponto
:
Este limite nos dá a taxa de variação instantânea da função
no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o nosso limite:
Observamos que, em vez de
, temos
. Para facilitar a resolução, vamos fazer uma substituição: seja
. Assim, quando
, também
.
Passo 4
Reescrevendo o limite em termos de
, temos:
Aqui, substituímos
por
, então
.
Passo 5
Simplificando a expressão:
Fatoramos o 3 para fora do limite.
Passo 6
Reconhecemos que:
Portanto, substituindo de volta:
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
a) Esboce o gráfico da serie de Fourier da função
no intervalo
.
Considere a função
. É correto que:
é ponto crítico.
É correto que:
é ponto crítico. Considere a função
.
Usando a Definição de contiunidade: uma função
é contínua em
, se, e somente se duas condições se verificam: (i) Existência do limite de
em
: ou seja,
, digamos