Calcule os limites abaixo. (b) lim h 0 f(a+3 h)-f(a)h

Passo 1

Vamos resolver o limite lim h 0 f(a+3 h)-f(a)h. Este exercício está relacionado ao conceito de derivada, que é uma ferramenta fundamental no cálculo para entender como uma função muda em determinado ponto. Para resolver esse limite, vamos precisar entender a definição de derivada e como manipular expressões de limites.

Passo 2

Primeiro, lembremos da definição da derivada de uma função f no ponto a:
f'(a) = lim h 0 f(a+h)-f(a)h
Este limite nos dá a taxa de variação instantânea da função f no ponto a.

Passo 3

Agora, vamos analisar o nosso limite:
lim h 0 f(a+3 h)-f(a)h
Observamos que, em vez de a+h, temos a+3h. Para facilitar a resolução, vamos fazer uma substituição: seja k = 3h. Assim, quando h 0, também k 0.

Passo 4

Reescrevendo o limite em termos de k, temos:
lim h 0 f(a+3 h)-f(a)h = lim k 0 f(a + k) - f(a)k/3
Aqui, substituímos 3h por k, então h = k3.

Passo 5

Simplificando a expressão:
lim k 0 f(a + k) - f(a)k/3 = lim k 0 (3 cdot f(a + k) - f(a)k) = 3 cdot lim k 0 f(a + k) - f(a)k
Fatoramos o 3 para fora do limite.

Passo 6

Reconhecemos que:
lim k 0 f(a + k) - f(a)k = f'(a)
Portanto, substituindo de volta:
3 cdot f'(a)

Resposta

O limite é igual a 3f'(a).

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