Calcule os limites abaixo. (b)
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Este exercício está relacionado ao conceito de derivada, que é uma ferramenta fundamental no cálculo para entender como uma função muda em determinado ponto. Para resolver esse limite, vamos precisar entender a definição de derivada e como manipular expressões de limites.
Passo 2
Primeiro, lembremos da definição da derivada de uma função
no ponto
:
Este limite nos dá a taxa de variação instantânea da função
no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o nosso limite:
Observamos que, em vez de
, temos
. Para facilitar a resolução, vamos fazer uma substituição: seja
. Assim, quando
, também
.
Passo 4
Reescrevendo o limite em termos de
, temos:
Aqui, substituímos
por
, então
.
Passo 5
Simplificando a expressão:
Fatoramos o 3 para fora do limite.
Passo 6
Reconhecemos que:
Portanto, substituindo de volta:
Resposta
O limite é igual a
.