Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da série de Fourier da função definida por:
no intervalo . Para isso, vamos usar conceitos de séries de Fourier, que nos ajudam a representar funções periódicas através de uma soma de senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o período da função . Observando o intervalo dado , vemos que a função se repete a cada unidades. Portanto, o período é .
Passo 3
Sabemos que a série de Fourier para uma função periódica com período é dada por:
onde e os coeficientes e são calculados por:
Passo 4
Vamos calcular o coeficiente , que representa a média da função no intervalo:
Dividimos a integral em duas partes, de a e de a :
Calculando as integrais:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes . Devido à paridade da função , que é ímpar (), os coeficientes serão zero:
Passo 6
Seguimos para os coeficientes :
Novamente, dividimos a integral:
Como é ímpar e também é ímpar, o produto será uma função par, então podemos simplificar:
Usamos integração por partes:
Aplicando:
Integrando novamente:
Então:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Sabendo que e , temos:
Simplificando:
Passo 7
Agora, juntando tudo, a série de Fourier da função é:
Resposta
A série de Fourier da função no intervalo é dada por:
Para esboçar o gráfico, considere somar os primeiros termos da série, observando que a série converge para com pontos de descontinuidade suavizados. O gráfico resultante será uma função periódica com período , alternando entre segmentos inclinados positivos e negativos, refletindo a forma original de repetida ao longo do intervalo .