Calcule os limites abaixo.
(b) lim x -infty 2 x^4+x^3-25 x^3-x+11

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando tende a menos infinito para a função . Estamos lidando com limites de funções racionais, ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, precisamos analisar os termos de maior grau tanto no numerador quanto no denominador.

Passo 2

Vamos identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, o termo de maior grau é e, no denominador, é . Quando tende a infinito ou menos infinito, esses termos dominam o comportamento da função.

Passo 3

Agora, vamos simplificar a função dividindo o numerador e o denominador pelo termo de maior grau presente no denominador, que é 2x^4 + x^3 - 25x^3 - x + 11 = 2x^4/x^3 + x^3/x^3 - 2/x^35x^3/x^3 - x/x^3 + 11/x^3 = 2x + 1 - 2x^35 - 1x^2 + 11x^3 . Isso nos ajuda a facilitar o cálculo do limite.

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento de cada termo conforme tende a menos infinito ( ):
  • tende a menos infinito, pois está indo para menos infinito.
  • permanece constante.
  • tende a zero, porque quanto maior o , menor o valor dessa fração.
  • No denominador:
    • permanece constante.
    • tende a zero.
    • também tende a zero.

Passo 5

Substituindo esses comportamentos simplificados na função, temos:
2x + 1 - 05 - 0 + 0 = 2x + 15

Passo 6

Agora, calculamos o limite de quando tende a menos infinito. Como domina e tende a menos infinito, a fração inteira também tende a menos infinito dividido por 5, que é menos infinito.

Resposta

lim x -infty 2 x^4+x^3-25 x^3-x+11 = -infty

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