Suponha que um objeto se move ao longo de uma reta com a função de posição
(
medida em metros e
em segundos).
(a) Calcule a velocidade instantânea do objeto no instante
segundos.
(a) Calcule a velocidade instantânea do objeto no instante
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma função de posição
, que descreve onde um objeto está em metros
em relação ao tempo
em segundos. A pergunta é para calcular a velocidade instantânea do objeto no instante
segundos. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a velocidade a partir da função de posição, o que envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas.
Passo 2
A velocidade instantânea é a rapidez do objeto em um momento específico, ou seja, é a derivada da função de posição em relação ao tempo. A derivada nos dá a taxa de variação da posição, que é exatamente o que a velocidade representa. Então, primeiro, precisamos derivar a função
para encontrar a expressão da velocidade
.
Passo 3
Vamos derivar cada termo da função
:
A derivada de
é
.
A derivada de
é
.
A derivada de
é
.
Então, a função da velocidade é:
Passo 4
Agora que temos a expressão para a velocidade
, precisamos calcular o valor dessa função no instante
segundos. Vamos substituir
por 6 na equação da velocidade:
Calculando cada parte:
Então,
Resposta
A velocidade instantânea do objeto no instante
segundos é de 24 metros por segundo.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada das funções abaixo.
(b)
(b)
Considere a seguinte função
.
(b) Determine as assíntotas horizontais de (caso existam).
(b) Determine as assíntotas horizontais de
Encontre
e
.
(b) (aqui,
é a variável)
(b)
Calcule os limites abaixo.
(b)
(b)