Calcule os limites abaixo (caso existam) ou prove que o limite não existe. Justifique todas as passagens. (Obs: Não é permitido usar a regra de L(a) lim x 2 x^2+x-6x-2

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite da função quando se aproxima de 2. Isso está relacionado ao estudo de limites em cálculo, onde queremos saber o comportamento da função perto de um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão e ver se conseguimos encontrar um valor definido para o limite.

Passo 2

Primeiro, substituímos 2^2 + 2 - 62 - 2 = 4 + 2 - 60 = 00 por 2 na expressão para ver o que acontece:
Obtemos uma indeterminação do tipo , o que significa que precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.

Passo 3

Quando temos uma indeterminação x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2) , uma técnica comum é fatorar o numerador para tentar cancelar o denominador. Vamos fatorar o polinômio do numerador .
Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e .
Então, podemos escrever:

Passo 4

Agora substituímos a fatoração na expressão original:
(x + 3)(x - 2)x - 2
Observamos que (x + 3)cancel(x - 2)cancel(x - 2) = x + 3 aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelar esses termos (desde que ):

Passo 5

Após simplificar, a expressão fica limx 2 (x + 3) = 2 + 3 = 5 . Agora podemos calcular o limite substituindo por 2:

Resposta

O limite é igual a 5.

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