Obtenha as equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de no ponto em que .
22.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos as equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de uma função vetorial no ponto onde . Para isso, vamos precisar entender como encontrar a posição no ponto específico e a direção da reta tangente, que é dada pela derivada da função vetorial nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a posição da função vetorial no ponto . A função dada é:
Substituindo :
Então, o ponto de tangência é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função vetorial , que nos dá a direção da reta tangente. A derivada de é:
Calculando cada componente:
Então:
Passo 4
Vamos agora calcular para encontrar a direção da reta tangente no ponto :
Então, o vetor direção da tangente é .
Passo 5
Com o ponto de tangência e o vetor direção , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. A forma geral das equações paramétricas de uma reta no espaço é:
onde é o ponto inicial e são as componentes do vetor direção.
Resposta
Portanto, as equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de no ponto onde são: