Obtenha as equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de
no ponto em que
.
22.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos as equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de uma função vetorial
no ponto onde
. Para isso, vamos precisar entender como encontrar a posição no ponto específico e a direção da reta tangente, que é dada pela derivada da função vetorial nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a posição da função vetorial no ponto
. A função dada é:
Substituindo
:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função vetorial
, que nos dá a direção da reta tangente. A derivada de
é:
Calculando cada componente:
Então:
Passo 4
Vamos agora calcular
para encontrar a direção da reta tangente no ponto
:
Então, o vetor direção da tangente é
.
Passo 5
Com o ponto de tangência
e o vetor direção
, podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. A forma geral das equações paramétricas de uma reta no espaço é:
onde
é o ponto inicial e
são as componentes do vetor direção.
Resposta
Portanto, as equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de
no ponto onde
são: