Obtenha as equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de r(t) no ponto em que t = t0.
22. r(t) = ln(t) * 1 + e^(-t) * j + t^3 * k ; t0 = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos as equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de uma função vetorial no ponto onde . Para isso, vamos precisar entender como encontrar a posição no ponto específico e a direção da reta tangente, que é dada pela derivada da função vetorial nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a posição da função vetorial no ponto . A função dada é:
Substituindo :
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função vetorial , que nos dá a direção da reta tangente. A derivada de é:
Calculando cada componente:
Então:

Passo 4

Vamos agora calcular para encontrar a direção da reta tangente no ponto :
Então, o vetor direção da tangente é .

Passo 5

Com o ponto de tangência e o vetor direção , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. A forma geral das equações paramétricas de uma reta no espaço é:
onde é o ponto inicial e são as componentes do vetor direção.

Resposta

Portanto, as equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de no ponto onde são:

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