Resolva utilizando as fórmulas dadas para o produto e pot seno e cosseno. integral sen(7 x) cdot cos (2 x) d x

Passo 1

Beleza, então temos o exercício de calcular a integral de sen(7x) cdot cos(2x) , dx. Essa questão está relacionada ao cálculo de integrais envolvendo produtos de funções trigonométricas, especificamente seno e cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas de produtos para seno e cosseno, que ajudam a transformar produtos de funções trigonométricas em somas ou diferenças, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula de produto para seno e cosseno que nos ajuda a simplificar a expressão:
sen(A) cdot cos(B) = 12 [sen(A + B) + sen(A - B)]
Essa fórmula é útil porque transforma o produto de duas funções trigonométricas em uma soma de senos, o que é mais fácil de integrar.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula na nossa integral. No nosso caso, A = 7x e B = 2x. Substituindo na fórmula, temos:
sen(7x) cdot cos(2x) = 12 [sen(7x + 2x) + sen(7x - 2x)] = 12 [sen(9x) + sen(5x)]

Passo 4

Com essa simplificação, nossa integral original fica:
integral sen(7x) cdot cos(2x) , dx = 12 integral [sen(9x) + sen(5x)] , dx
Agora, podemos integrar cada termo separadamente.

Passo 5

Vamos integrar sen(9x) e sen(5x) individualmente. A integral de sen(kx) é:
integral sen(kx) , dx = -1k cos(kx) + C
onde k é uma constante.

Passo 6

Aplicando essa fórmula:
12 integral sen(9x) , dx = 12 ( -19 cos(9x) ) = -118 cos(9x)
12 integral sen(5x) , dx = 12 ( -15 cos(5x) ) = -110 cos(5x)

Passo 7

Agora, juntando os dois resultados, temos:
integral sen(7x) cdot cos(2x) , dx = -118 cos(9x) - 110 cos(5x) + C

Resposta

A integral de sen(7x) cdot cos(2x) , dx é:
-118 cos(9x) - 110 cos(5x) + C

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