Calcule os limites abaixo (caso existam) ou prove que o limite não existe. Justifique todas as passagens. (Obs: Não é permitido usar a regra de L(b) lim x 0 raizx^2+16-4x^2

Passo 1

Vamos calcular o limite . Esse problema está relacionado ao cálculo de limites em cálculo diferencial. Para resolvê-lo, vamos precisar simplificar a expressão usando técnicas de álgebra, já que não podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, observamos que quando se aproxima de 0, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, resultando em uma forma indeterminada . Para resolver isso, vamos racionalizar o numerador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominominator pelo conjugado do numerador.

Passo 3

O conjugado de raizx^2+16-4x^2 times raizx^2+16+4raizx^2+16+4 = (raizx^2+16)^2 - 4^2x^2(raizx^2+16+4) é . Portanto, multiplicamos a fração por :

Passo 4

Simplificando o numerador:
(raizx^2+16)^2 - 4^2 = x^2 + 16 - 16 = x^2
Então, a expressão fica:
x^2x^2(raizx^2+16+4) = 1raizx^2+16+4

Passo 5

Agora, ao substituir 1raiz0^2+16+4 = 14 + 4 = 18 :

Resposta

O limite é .

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