Calcule as seguintes integrais, usando o método das frações parciais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método das frações parciais. Aqui, estamos lidando com uma integral de uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos decompor essa fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os fatores do denominador. A expressão já está fatorada, onde temos o fator linear e o fator quadrático elevado ao quadrado.

Passo 3

Agora, vamos escrever a decomposição em frações parciais. Por ser um denominador com um fator linear e um fator quadrático repetido, a decomposição fica assim:
Aqui, , , , e são constantes que vamos precisar encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:

Passo 5

Expandimos e agrupamos os termos por potência de :

Passo 6

Agrupamos os coeficientes de cada potência de :

Passo 7

Igualamos os coeficientes de cada potência de dos dois lados da equação:

Passo 8

Resolvemos o sistema de equações:
  1. De , temos .
  2. De , substituindo , temos então .
  3. De , temos .
  4. De , com , temos .
  5. De , substituindo e , temos então .

Passo 9

Agora que encontramos , , , e , substituímos de volta na decomposição:

Passo 10

Agora, integramos cada termo separadamente:

Passo 11

Calculamos cada integral:

Passo 12

Somamos todas as integrais:

Resposta

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O césio-137 desintegra-se a uma taxa proporcional à quantidade de material presente. Se sua meia vida (tempo necessário para da massa inicialmente presente desintegrar-se) é de 30 anos e se a massa inicial (presente no instante ) é de faça o que se pede: Resolva o problema de valor inicial associado, de modo a determine a massa , em gramas, que ainda permanece após decorrido anos.
Calcule as seguintes integrais, usando o método das frações parciais:
Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais:
(30)