Calcule as seguintes integrais, usando o método das frações parciais: integral 1x(x^2+1)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método das frações parciais. Aqui, estamos lidando com uma integral de uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos decompor essa fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os fatores do denominador. A expressão já está fatorada, onde temos o fator linear e o fator quadrático elevado ao quadrado.

Passo 3

Agora, vamos escrever a decomposição em frações parciais. Por ser um denominador com um fator linear e um fator quadrático repetido, a decomposição fica assim:
1x(x^2+1)^2 = Ax + Bx + Cx^2+1 + Dx + E(x^2+1)^2
Aqui, , , , e são constantes que vamos precisar encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum 1 = A(x^2+1)^2 + (Bx + C)x(x^2+1) + (Dx + E)x para eliminar as frações:

Passo 5

Expandimos e agrupamos os termos por potência de 1 = A(x^4 + 2x^2 + 1) + (Bx + C)(x^3 + x) + (Dx + E)x :
1 = A x^4 + 2A x^2 + A + B x^4 + B x^2 + C x^3 + C x + D x^2 + E x

Passo 6

Agrupamos os coeficientes de cada potência de ( A + B )x^4 + C x^3 + (2A + B + D )x^2 + (C + E )x + A = 1 :

Passo 7

Igualamos os coeficientes de cada potência de A + B = 0 C = 0 2A + B + D = 0 C + E = 0 A = 1 dos dois lados da equação:

Passo 8

Resolvemos o sistema de equações:
  1. De , temos .
  2. De , substituindo , temos então .
  3. De , temos .
  4. De , com , temos .
  5. De , substituindo e , temos então .

Passo 9

Agora que encontramos 1x(x^2+1)^2 = 1x + -xx^2+1 + -x(x^2+1)^2 , , , e , substituímos de volta na decomposição:

Passo 10

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral 1x dx + integral -xx^2+1 dx + integral -x(x^2+1)^2 dx

Passo 11

Calculamos cada integral:

Passo 12

Somamos todas as integrais:
ln|x| - 12 ln|x^2+1| + 12(x^2+1) + C

Resposta

ln|x| - 12 ln(x^2+1) + 12(x^2+1) + C

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