Calcule as seguintes integrais, usando o método das frações parciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral usando o método das frações parciais. Aqui, estamos lidando com uma integral de uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos decompor essa fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os fatores do denominador. A expressão já está fatorada, onde temos o fator linear e o fator quadrático elevado ao quadrado.
Passo 3
Agora, vamos escrever a decomposição em frações parciais. Por ser um denominador com um fator linear e um fator quadrático repetido, a decomposição fica assim:
Aqui, , , , e são constantes que vamos precisar encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:
Passo 5
Expandimos e agrupamos os termos por potência de :
Passo 6
Agrupamos os coeficientes de cada potência de :
Passo 7
Igualamos os coeficientes de cada potência de dos dois lados da equação:
Passo 8
Resolvemos o sistema de equações:
De , temos .
De , substituindo , temos então .
De , temos .
De , com , temos .
De , substituindo e , temos então .
Passo 9
Agora que encontramos 1x(x^2+1)^2 = 1x + -xx^2+1 + -x(x^2+1)^2 , , , e , substituímos de volta na decomposição:
Passo 10
Agora, integramos cada termo separadamente:
integral 1x dx + integral -xx^2+1 dx + integral -x(x^2+1)^2 dx