O césio-137 desintegra-se a uma taxa proporcional à quantidade de material presente. Se sua meia vida (tempo necessário para 50 % da massa inicialmente presente desintegrar-se) é de 30 anos e se a massa inicial (presente no instante t = 0 ) é de 100 g faça o que se pede: Resolva o problema de valor inicial associado, de modo a determine a massa m = m(t), em gramas, que ainda permanece após decorrido t anos.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos césio-137, que se desintegra a uma taxa proporcional à quantidade que temos. A meia-vida, que é o tempo que leva para metade da substância se desintegrar, é de 30 anos. Começamos com 100 gramas de césio-137 no tempo inicial . Precisamos encontrar uma fórmula que nos diga quanto de césio-137 ainda resta após anos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais que modelam o decaimento radioativo.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer a relação matemática para o decaimento. Sabemos que a taxa de desintegração é proporcional à quantidade presente. Isso pode ser escrito como uma equação diferencial:
Aqui, é a massa de césio-137 no tempo e é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa equação diferencial. Essa é uma equação de separação de variáveis. Vamos separar e :
Integrando ambos os lados:
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Para resolver para , vamos exponentiar ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Podemos simplificar como uma constante , que representa a massa inicial:

Passo 5

Sabemos que a meia-vida é o tempo em que a massa reduz para metade. Então, quando anos, :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Para encontrar , vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Sabemos que , então:
Substituindo anos:

Passo 7

Agora que temos , podemos substituir de volta na equação de :
Como gramas:

Resposta

A massa de césio-137 que permanece após anos é dada por:

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