O césio-137 desintegra-se a uma taxa proporcional à quantidade de material presente. Se sua meia vida (tempo necessário para
da massa inicialmente presente desintegrar-se) é de 30 anos e se a massa inicial (presente no instante
) é de
faça o que se pede: Resolva o problema de valor inicial associado, de modo a determine a massa
, em gramas, que ainda permanece após decorrido
anos.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos césio-137, que se desintegra a uma taxa proporcional à quantidade que temos. A meia-vida, que é o tempo que leva para metade da substância se desintegrar, é de 30 anos. Começamos com 100 gramas de césio-137 no tempo inicial
. Precisamos encontrar uma fórmula que nos diga quanto de césio-137 ainda resta após
anos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais que modelam o decaimento radioativo.
Passo 2
Primeiro, vamos estabelecer a relação matemática para o decaimento. Sabemos que a taxa de desintegração é proporcional à quantidade presente. Isso pode ser escrito como uma equação diferencial:
Aqui,
é a massa de césio-137 no tempo
e
é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, precisamos resolver essa equação diferencial. Essa é uma equação de separação de variáveis. Vamos separar
e
:
Integrando ambos os lados:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Para resolver para
, vamos exponentiar ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Podemos simplificar
como uma constante
, que representa a massa inicial:
Passo 5
Sabemos que a meia-vida
é o tempo em que a massa reduz para metade. Então, quando
anos,
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Para encontrar
, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Sabemos que
, então:
Substituindo
anos:
Passo 7
Agora que temos
, podemos substituir de volta na equação de
:
Como
gramas:
Resposta
A massa de césio-137 que permanece após
anos é dada por: