Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais:
(32) lim x 5 raiz[3]x-raiz[3]5x-5

Passo 1

Vamos resolver o limite .
Conteúdo da matéria: Este exercício envolve o cálculo de limites, especificamente limites que resultam em uma forma indeterminada do tipo . Para resolvê-lo, vamos precisar entender como manipular expressões com raízes cúbicas e aplicar uma técnica de simplificação.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o que acontece quando substituímos raiz[3]5 - raiz[3]55 - 5 = 00 diretamente na expressão:
Esse resultado é uma forma indeterminada, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para simplificar a - b = a^3 - b^3a^2 + ab + b^2 , vamos usar a identidade algébrica para a diferença de raízes cúbicas:
raiz[3]x - raiz[3]5 = x - 5(raiz[3]x)^2 + raiz[3]xraiz[3]5 + (raiz[3]5)^2
Aqui, substituímos e . Então:

Passo 4

Agora, substituímos essa identidade na nossa expressão original:
raiz[3]x-raiz[3]5x-5 = x - 5(raiz[3]x)^2 + raiz[3]xraiz[3]5 + (raiz[3]5)^2x-5
Simplificando, cancelamos o 1(raiz[3]x)^2 + raiz[3]xraiz[3]5 + (raiz[3]5)^2 :

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando 1(raiz[3]5)^2 + raiz[3]5 cdot raiz[3]5 + (raiz[3]5)^2 = 13(raiz[3]5)^2 se aproxima de 5. Sabemos que se aproxima de , então substituímos:

Resposta

lim x 5 raiz[3]x-raiz[3]5x-5 = 13 cdot (raiz[3]5)^2

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