Determine a para que a função dada seja contínua:
(i) f(x) = { (raiz(x + 2) - raiz(5)) / (x - 3) se x > 3; 3x^2 - 4x + a se x <= 3 }

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma função definida por partes e precisa encontrar o valor de que faz essa função ser contínua. Isso significa que não pode ter nenhum “pulo” ou “buraco” no gráfico da função. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de limites e continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função pode não ser contínua. Olhando ela, vemos que ela é definida de duas maneiras diferentes:
  • Para :
  • Para :
O ponto em questão aqui é , porque é onde a definição da função muda. Então, precisamos garantir que os valores se “encaixem” nesse ponto.

Passo 3

Para a função ser contínua em , o limite quando se aproxima de 3 pela direita (valores maiores que 3) deve ser igual ao valor da função em .
Primeiro, vamos calcular o limite pela direita:
Perceba que se substituirmos diretamente, teremos uma forma indeterminada . Então, vamos simplificar essa expressão.

Passo 4

Para simplificar, multiplicamos o numerador e o denominador pela conjugada do numerador:
Agora, podemos simplificar do numerador e denominador:

Passo 5

Agora, calculamos o limite dessa expressão quando tende a 3:

Passo 6

Agora, vamos calcular o valor da função em na segunda parte da definição:

Passo 7

Para a função ser contínua, o limite que calculamos deve ser igual ao valor da função em :
Agora, isolamos :

Resposta

O valor de que torna a função contínua é .

Exercícios relacionados

Determine a para que a função dada seja contínua:
© f(x) = { (raiz(x) - raiz(3)) / (x - 3) se x ≠ 3, a se x = 3 }.
Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais:
(32) lim x 5 raiz[3]x-raiz[3]5x-5
Calcule as seguintes integrais trigonométricas
(d) integral sec ^3(theta) d theta
Calcule se existir: lim x 1 / 5 f(x).