Determine
para que a função dada seja contínua:
(i)
(i)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma função definida por partes e precisa encontrar o valor de
que faz essa função ser contínua. Isso significa que não pode ter nenhum “pulo” ou “buraco” no gráfico da função. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de limites e continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função pode não ser contínua. Olhando ela, vemos que ela é definida de duas maneiras diferentes:
- Para
: - Para
:
O ponto em questão aqui é
, porque é onde a definição da função muda. Então, precisamos garantir que os valores se “encaixem” nesse ponto.
Passo 3
Para a função ser contínua em
, o limite quando
se aproxima de 3 pela direita (valores maiores que 3) deve ser igual ao valor da função em
.
Primeiro, vamos calcular o limite pela direita:
Perceba que se substituirmos
diretamente, teremos uma forma indeterminada
. Então, vamos simplificar essa expressão.
Passo 4
Para simplificar, multiplicamos o numerador e o denominador pela conjugada do numerador:
Agora, podemos simplificar
do numerador e denominador:
Passo 5
Agora, calculamos o limite dessa expressão quando
tende a 3:
Passo 6
Agora, vamos calcular o valor da função em
na segunda parte da definição:
Passo 7
Para a função ser contínua, o limite que calculamos deve ser igual ao valor da função em
:
Agora, isolamos
:
Resposta
O valor de
que torna a função contínua é
.
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Determine
para que a função dada seja contínua:
© .
©
Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais:
(32)
(32)
Calcule as seguintes integrais trigonométricas
(d)
(d)
Calcule se existir:
.