Determine a para que a função dada seja contínua:
(j) f(x) = { (raiz3(x + 1) - 1) / x se x ≠ 0; a se x = 0 }.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
Queremos encontrar o valor de que faz a função ser contínua em . Para isso, precisamos que o limite de quando se aproxima de 0 seja igual a . Vamos precisar usar conceitos de limites e continuidade para resolver isso.

Passo 2

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0:
Substituindo diretamente na função, temos uma forma indeterminada . Portanto, precisamos simplificar ou usar alguma regra para resolver esse limite.

Passo 3

Uma maneira eficiente de resolver esse limite é aplicar a regra de L’Hôpital, que diz que se temos uma forma indeterminada ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente.
Então, vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador :
A derivada de é .
A derivada de é 0.
Então, a derivada do numerador é .
  • Derivada do denominador :
A derivada de é 1.

Passo 4

Aplicando a regra de L’Hôpital:
Agora, substituímos na expressão :

Passo 5

Portanto, o limite é:

Resposta

Para que a função seja contínua em , o valor de deve ser .

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