Determine
para que a função dada seja contínua:
(j)
.
(j)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
Queremos encontrar o valor de
que faz a função ser contínua em
. Para isso, precisamos que o limite de
quando
se aproxima de 0 seja igual a
. Vamos precisar usar conceitos de limites e continuidade para resolver isso.
Passo 2
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0:
Substituindo
diretamente na função, temos uma forma indeterminada
. Portanto, precisamos simplificar ou usar alguma regra para resolver esse limite.
Passo 3
Uma maneira eficiente de resolver esse limite é aplicar a regra de L’Hôpital, que diz que se temos uma forma indeterminada
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente.
Então, vamos derivar o numerador e o denominador:
- Derivada do numerador
:
A derivada de
é
.
A derivada de é 0.
Então, a derivada do numerador é .
A derivada de
Então, a derivada do numerador é
- Derivada do denominador
:
A derivada de
é 1.
Passo 4
Aplicando a regra de L’Hôpital:
Agora, substituímos
na expressão
:
Passo 5
Portanto, o limite é:
Resposta
Para que a função seja contínua em
, o valor de
deve ser
.
Exercícios relacionados
Determine
para que a função dada seja contínua:
(e) .
(e)
Determine
para que a função dada seja contínua:
(b) .
(b)
Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais:
(32)
(32)
Determine
para que a função dada seja contínua:
© .
©